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2021年全国硕士研究生入学考试数学一模拟卷(三) (闭卷笔试180分钟) 题号一二三 分数 一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分，只有一个选项符合要求） 1.已知x = 0是函数f(x) = ax ln(1+x)x+bsinx的可去间断点，则a;b的取值范围是(D ) (A)a = 1;b为任意实数(B)a = 1;b为任意实数 (C)b = 1;a为任意实数(D)b = 1;a为任意实数 2.设f(x)在x = 0处二阶可导，f(0) = 0，若lim x!0 f(x)+f(2x) sinx = 1，则(B ) (A)f(0)是f(x)的极大值(B)f(0)是f(x)的极小值 (C)(0;f(0)是曲线f(x)的拐点(D)以上结论均不正确 3.设I1 = 20 sinxx dx;I2 = 20 xsinx dx，则有结论(B ) (A)I2 1 I1 (B)I2 I1 1 (C)1 I2 I1 (D)1 I1 I2 4.设平面点集D = f(x;y) j 0 y x2; 1 x xg = 0:05，则Pf1x F 0;ai = 1;i = 1;2 ;n;n 2为确定的整数，则极限lim x!0 ( ax1+ax2+ +axn n )1x = npa1a2 an 解析： 令f(x) = ( ax1+ax2+ +axn n )1x ，则由洛必达法则得： 12.已知微分方程y + y = sinx + cosx的解均为微分方程y + y + ay = f(x)的解，其中a为常数，则 f(x)=cosx sinx 13.设函数f(x) = 1 1x2; x 0 ex; x 0的反函数为f 1(x)，则2 0 f 1(x)dx = 2ln2 3 解析： 14.设C为曲线 x2 + y2 = 1 x y + z = 2，从z轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针方向，则曲线积分 H C(z y)dx + (x z)dy + (x y)dz= 2 第2页,共6页 15.已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3，f(x) = x3 6x2 + 11x 5，则f(A) = E 16.设随机变量X1;X2相互独立,且均服从N(0:1),A为二阶正交矩阵，(Y1;Y2) = (X1;X2)A，则下列结论 中，正确的个数为4 (1) EY1 = EY2 = 0; (1) DY1 = DY2 = 1; (3) Cov(Y1;Y2) = 0; (4) Y1与Y2相互独立 三、简答题（17-22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. (本题满分10分) 设f(x)可导，且f(0) = 0. (I)证明当x ! 0时，x0 f(t)dt f(0)x (II)求lim x!0 f 1x 0 f(t)dt 1xf(0)g (III)设f(x)连续，且f(0) = 0，如果当x = 0时，x0 f(t)dt = xf( )，其中 介于0与x之间.求 lim x!0 x 答案： 第3页,共6页 18. (本题满分10分) (I)设函数f(x);g(x)在a;b上连续，证明： b a f(x)g(x)dx 2 ba f2(x)dxba g2(x)dx (II)设函数f(x)在a;b上非负可积，ba f(x)dx = 1，证明： b a xf(x)dx 2 ba x2f(x)dx 答案： 19. (本题满分10分) 设幂级数 1 n=0 anxn在( 1;+1)内收敛，其和函数y = y(x)满足： xy + (1 x)y 2y = 0; y(0) = 1; y(0) = 2. (I)证明：(n + 1)2an+1 = (n + 2)an;n = 0;1;2; (II)求y(x)的表达式. 答案： 第4页,共6页 20. (本题满分10分) 计算曲面积分I = f(x;y;z)dS，其中 : x2 +y2 +z2 = 2，f(x;y;z) = x2 + y2; z x2 + y2 2; z 0)，其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特 征值之积为 12. (I)求a,b的值. (II)利用正交变换将二次型化为标准型，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵. 答案：(I)a=1,b=2 (II)f = 2y21 + 2y22 3y23，Q = 0 BB 0 2p5 1p5 1 0 0 0 1p5 2p5 1 CC A 22. (本题满分15分) 设二维随机变量(X;Y )的分布函数为F(x;y) = 8 : 0; x 0或y 0 1 2 (1 e x); x 0;0 y 1 1 e x; x 0;y 1 . (I)分别求X和Y的概率分布. (II)问X和Y是否相互独立？ (III)求PfX + Y 2g 答案： 第5页,共6页 第6页,共6页
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