数二模拟卷二题目.pdf

2021年全国硕士研究生入学考试数学二模拟卷(二) (闭卷笔试180分钟) 题号一二三 分数 一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分，只有一个选项符合要求） 1.极限lim n!1 n k=1 k (n+k)(n+k+1)的值为( ) (A)ln2 12 (B)12 (C)ln2 (D)12 ln2 2.设函数f(x)在( 1;+1)内连续，其一阶导数f(x)的图形如图1所示，并设在f(x)存在处，f(x) 均存在，则曲线y = f(x)的拐点个数为( ) (A)0 (B)1 (C2 (D)3 图1:一阶导数的图像 3.设函数f(x) 0且单调递增，则积分： I1 = 20 f(x)sinx dx;I2 = 20 f(x)cosx dx;I3 = 20 f(x)tanx dx的大小顺序为( ) (A)I1 I2 I3 (B)I1 I3 I2 (C)I2 I3 I1 (D)I3 I1 I2 4.设a 0;f(x) = g(x) = a; 0 x 1; 0;其他而D表示全平面，则I = D f(x)g(y x)dx dy=( ) (A)a (B)a2 (C)1 (D)0 5.已知微分方程y 4y + ay = xebx的通解形式为y = c1e2x + c2xe2x + (Ax + B)ebx，则( ) (A)a = 4;b = 2 (B)a = 4;b = 2 (C)a = 4;b = 2 (D)a = 4;b = 2 6.二元函数z = xy(3 x y)的极值点是( ) (A)(0;0) (B)(0;3) (C)(3;0) (D)(1;1) 7.设IK = k 0 ex2 sinxdx(k = 1;2;3)，则有( ) (A)I1 I2 I3 (B)I3 I2 I1 (C)I2 I3 I1 (D)I2 I1 0，在曲线y = f(x)上的任意一点(x;f(x)(x = 0)处做此曲线的切线，交x轴于点(u;0)，求lim x!0 xf(u) uf(x) 18. (本题满分10分) 设a为常数，f(x) = xea aex x + a.证明：当x a时，f(x) 0. 19. (本题满分10分) 计算二重积分I = D x2 + y2 1 dxdy，区域D : y = p2x x2与x轴围成. 20. (本题满分10分) 设平面区域D由曲线 x = t sint y = 1 cost (0 t 2 )与x轴围成，计算二重积分 D(x + 2y)dxdy. 21. (本题满分15分) 证明：假设f(x)在0;1上二阶连续可微，lim x!0+ f(x) x 0;F(x) = f 2(x),则 (1)存在 ; 2 (0;1)，使得F( ) = F( ) = 0. (2)存在 2 ( ; ),使得F( ) = F( ) F( ) . 第2页,共3页 22. (本题满分15分) 设A = E + xTy，其中x = x1;x2; ;xn;y = y1;y2; ;yn，且xyT = 2. (I)求A的特征值和特征向量 (II)求可逆矩阵P，使得P 1AP = 第3页,共3页