数一模拟卷二题目.pdf

2021年全国硕士研究生入学考试数学一模拟卷(二) (闭卷笔试180分钟) 题号一二三 分数 一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分，只有一个选项符合要求） 1.极限lim n!1 n k=1 k (n+k)(n+k+1)的值为( ) (A)ln2 12 (B)12 (C)ln2 (D)12 ln2 2.设函数f(x)在( 1;+1)内连续，其一阶导数f(x)的图形如图1所示，并设在f(x)存在处，f(x) 均存在，则曲线y = f(x)的拐点个数为( ) (A)0 (B)1 (C2 (D)3 图1:一阶导数的图像 3.设函数f(x) 0且单调递增，则积分： I1 = 20 f(x)sinx dx;I2 = 20 f(x)cosx dx;I3 = 20 f(x)tanx dx的大小顺序为( ) (A)I1 I2 I3 (B)I1 I3 I2 (C)I2 I3 I1 (D)I3 I1 I2 4.设a 0;f(x) = g(x) = a; 0 x 1; 0;其他而D表示全平面，则I = D f(x)g(y x)dx dy=( ) (A)a (B)a2 (C)1 (D)0 5.设椭圆L：x22 + y23 = 1的周长为a，则曲线积分HL xy(x+y)+63x2+2y2 ds=( ) (A)a (B)0 (C)2a (D)1 6.设函数f(x)在x = 0的某领域内有连续一阶导数，极限lim x!0 f(x) x = 2，则级数 1 n=1 ( 1)nf (1n)为( ) (A)绝对收敛(B)条件收敛 (C)发散(D)无法判断 7.设A，B均为三阶非零矩阵，满足AB = 0，其中B = 0 BB 1 1 1 2a 1 a 2a a a a2 2 1 CC A，则( ) (A)a = 2时，必有r(A) = 1 (B)a = 2时，必有r(A) = 2 (C)a = 1时，必有r(A) = 1 (D)a = 1时，必有r(A) = 2 第1页,共3页 8.设A为四阶实对称矩阵，其特征值为 1 = 2 = 1; 3 = 2; 4 = 3相应的特征向量依次为p1;p2;p3;p4， 且p1;p2线性无关，令P = (4p4;5p3;p1 + p2;p1 p2)，则P 1AP =( ) (A) 0 BB BB 4 5 2 0 1 CC CC A (B) 0 BB BB 4 5 1 1 1 CC CC A (C) 0 BB BB 1 1 2 3 1 CC CC A (D) 0 BB BB 3 2 1 1 1 CC CC A 9.设随机变量X和Y，且X Y，记FX(x)和FY (y)分别为随机变量X和Y的分布函数，F(x;y)为 (X;Y )的分布函数，则对任意的t，有( ) (A)FX(t) FY (t);F(t;t) = FX(t) (B)FY (t) FX(t);F(t;t) = FX(t) (C)FX(t) FY (t);F(t;t) = FY (t) (D)FY (t) FX(t);F(t;t) = FY (t) 10.设随机变量X的方差存在，并有下列四个结论： (1)jEXj EjXjE(X2); (2) jEXjE(X2) EjXj (3) EjX EXjpDX E(X2); (4) pDX E(X2 EjX EXj 其中正确结论的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分） 11.设f(x) = arctan2x,则f(2021)(0)= 12.已知lim x!0 p 1+f(x)sin2x 1 e3x2 1 = 2，求limx!0 f(x) x = 13.计算+11 dxxpx 1= 14.平面x + 2y 2z + 6 = 0和平面4x y + 8z 8 = 0的夹角的平分面方程为 15.设A = (aij)是3阶非零矩阵，jAj为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij = 0(i j = 1;2;3， 则jAj = 16.随机试验E有三种两两不相容的结果A1;A2;A3，且三种结果发生的概率均为13将试验E独立重复做 2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的 相关系数为 三、简答题（17-22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. (本题满分10分) 设f(x)具有二阶连续导数，f(0) = 0;f(0) = 0;f(x) 0，在曲线y = f(x)上的任意一点(x;f(x)(x = 0)处做此曲线的切线，交x轴于点(u;0)，求lim x!0 xf(u) uf(x) 18. (本题满分10分) 设a为常数，f(x) = xea aex x + a.证明：当x a时，f(x) 0. 19. (本题满分10分) 计算曲面积分I = y dy dz x dz dx+z2 dx dy，其中 为锥面z = x2 + y2界于z = 1和z = 2 的外侧. 第2页,共3页 20. (本题满分10分) 证明：假设f(x)在0;1上二阶连续可微，lim x!0+ f(x) x 0;F(x) = f 2(x),则 (1)存在 ; 2 (0;1)，使得F( ) = F( ) = 0. (2)存在 2 ( ; ),使得F( ) = F( ) F( ) . 21. (本题满分15分) 设A = E + xTy，其中x = x1;x2; ;xn;y = y1;y2; ;yn，且xyT = 2. (I)求A的特征值和特征向量 (II)求可逆矩阵P，使得P 1AP = 22. (本题满分15分) 设总体X的概率密度f(x) = 1 e x ; x 0; x ，其中 和 ( 0)均为未知参数，X1;X2;:;Xn 是来自总体X的样本. (I)求未知参数 和 的矩估计量 (II)求未知参数 和 的最大似然估计量 第3页,共3页