2021年数二模拟卷三题目+答案3.pdf

2021年全国硕士研究生入学考试数学二模拟卷(三) (闭卷笔试180分钟) 题号一二三 分数 一、选择题（1-10小题，每小题5分，共50分，只有一个选项符合要求） 1.设fang;fbng;fcng均为非负数列，且lim n!1 an = 0; lim n!1 bn = 1; lim n!1 cn = 1,则必有（D） (A)an bn对任意n成立(B)bn cn对任意n成立 (C)极限lim n!1 ancn不存在(D)极限lim n!1 bncn不存在 2.已知x = 0是函数f(x) = ax ln(1+x)x+bsinx的可去间断点，则a;b的取值范围是(D ) (A)a = 1;b为任意实数(B)a = 1;b为任意实数 (C)b = 1;a为任意实数(D)b = 1;a为任意实数 3.设f(x)在x = 0处二阶可导，f(0) = 0，若lim x!0 f(x)+f(2x) sinx = 1，则(B ) (A)f(0)是f(x)的极大值(B)f(0)是f(x)的极小值 (C)(0;f(0)是曲线f(x)的拐点(D)以上结论均不正确 4.设I1 = 20 sinxx dx;I2 = 20 xsinx dx，则有结论(B ) (A)I2 1 I1 (B)I2 I1 1 (C)1 I2 I1 (D)1 I1 I2 5.设平面点集D = f(x;y) j 0 y x2; 1 x 0;ai = 1;i = 1;2 ;n;n 2为确定的整数，则极限lim x!0 ( ax1+ax2+ +axn n )1x = npa1a2 an 解析： 令f(x) = ( ax1+ax2+ +axn n )1x ，则由洛必达法则得： 12.已知微分方程y + y = sinx + cosx的解均为微分方程y + y + ay = f(x)的解，其中a为常数，则 f(x)=cosx sinx 13.设函数f(x) = 1 1x2; x 0;f(0)f(12) 0，证明不等式：(I) x p1 + xln(1 + x) 0; (II ) 1x(1+x) ln2(1 + 1x). 答案： 22. (本题满分15分) 设二次型f (x1;x2;x3) = ax21 + 2x22 2x23 + 2bx1x3(b 0)，其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特 征值之积为 12. (I)求a,b的值. (II)利用正交变换将二次型化为标准型，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵. 答案：(I)a=1,b=2 (II)f = 2y21 + 2y22 3y23，Q = 0 BB 0 2p5 1p5 1 0 0 0 1p5 2p5 1 CC A 第5页,共5页