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科目名称：量子力学 第1页，共2页中国科学院研究生院 2012年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：量子力学 考生须知： 1本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、（共30分）质量为的粒子在一维无限深势阱中运动，势能 0, 0, 0x aVx x a 或 (1) 求粒子的能级和归一化波函数。 (2) 画出处于第二、第三激发态的粒子的概率密度的示意图。 (3) 求坐标算符在能量表象下的矩阵元。 二、（共30分）质量为的一维谐振子，带电q，初始t 时处于基态 0| 设加上微扰22exptH qEx ，其中E为外电场强度， 为参数。求t 时谐振子仍停留在基态的概率。 三、（共 30 分）设一转动惯量为、电偶极矩为 D 的转子自由地在 XY 平面内转动， 转角为。 (1)试求其能量本征值和本征态。 (2)设沿X方向加上电场E，即微扰哈密顿量为 cosH DE ，试用微扰论求其基态能量的一级和二级微扰修正。 四、（共30分） (1) 写出角动量算符的三个分量 xJ 、 yJ 、 zJ 相互间满足的所有对易关系。 (2) 试利用这些对易关系，证明矩阵元 nJm x 仅当 1 nm 时不为零。其中 m 、 n 分别为 zJ 的本征值为 m 、 n 的本征态。 (3) 设角动量量子数 1j 。 已知在 zJ 的某一个本征态 m 中， xJ 取值为 0 的概率为 21 。求 xJ 取值为 的概率。 科目名称：量子力学 第2页，共2页五、（共30分）氢原子的哈密顿量为 2 20 2p eHr ，基态波函数及基态能量为021300 )()(arear ，2 40 202 2e eEa ，其中20 2a e 为第一Bohr轨道半径。设体系受到微扰H e z 的作用（沿z方向加上均匀电场 ），哈密顿量变成 0H H H 。 (1)计算对易关系： 0 , H H 及 0 , , H H H 。 (2)计算 0 下的平均值： 0H 及 2 0H 。 (3)取基态试探波函数为 0( ) (1 )N H ，其中N为归一化常数。试以为变分参数，用变分法求H的基态能量上限（准确到 2 量级）。
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