2012中国科学院大学考研真题之高等代数.pdf

中国科学院研究生院 2012年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等代数 考生须知： 1本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1 (15分) 证明 多项式2( ) 1 1! 2! !nx x xf x n 没有重根。 2 (20 分) 设多项式 1( ) ( ) ( )( 1)kg x p x g x k ，多项式 ( )p x 与 1( )g x 互素。证明：对任意多项式 ( )f x 有 111( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )k kf xf x r xg x p x p x g x 其中， 1( ), ( )r x f x 都是多项式， ( ) 0r x 或deg( ( ) deg( ( )r x p x 。 3 (20分) 已知n阶方阵 21 1 2 122 1 2 221 21 11 11 1nnn n na a a a aa a a a aAa a a a a 其中， 21 11,n ni ii ia a n 。 1) 求A的全部特征值； 2) 求A的行列式det( )A 和迹tr( )A 。 4(15 分) 设数域k上的n阶方阵A满足 2A A ， 1 2,V V 分别是齐次线性方程组 0Ax 和( ) 0nA I x 在 nk 中的解空间，试证明： 1 2n V V k ，其中 nI 代表n阶单位矩阵，表示直和。 科目名称：高等代数 第1页 共2页 5 (20分) 设n阶矩阵A可逆， , 均为n维列向量，且 11 0T A ，其中 T 表示的转置。 1） 证明矩阵 1TAP 可逆，并求其逆矩阵； 2） 证明矩阵 TQ A 可逆，并求其逆矩阵。 6 (20分) 证明：任何复数方阵A都与它的转置矩阵 TA 相似。 7 (22分) 在二阶实数矩阵构成的线性空间 2 2R 中定义： ( , ) tr( )TA B A B ， 2 2,A B R 其中， TA 表示矩阵A的转置，tr( )X 表示矩阵X 的迹。 1) 证明( , )A B 是线性空间 2 2R 的内积； 2) 设W是由 1 21 1 0 1,0 0 1 1A A 生成的子空间。试求W的一组标准正交基。 8 (18分) 设 1 2, , , nT T T 是数域上线性空间V 的非零线性变换，试证明存在向量 V ，使得 ( ) 0, 1,2, ,iT i n 。 科目名称：高等代数 第2页 共2页