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9. 计算积分 注意：答案请做在答题纸上，做在试卷上无效东华理工大学 2016 年硕士生入学考试初试试题科目代码：617;科目名称：数学分析；（ 正卷）适用专业（领域）名称： 070100 数学一、计算题：（共 10 小题，每小题 8 分，共 80 分）1. 求下列数列的极限:limnnn3+3n .2求下列极限limx0exsinx x(1+ x) x3.3. 计算不定积分 sin4 xdx.4求两椭圆xa22y 2+ b2=1，x 2 b2+ya22=1(a0,b0)y所围公共部分的面积.Obax5. 确定幂级数n=02n +1 2nx2n+1的收敛域，并求和函数.6. 设 f(x)是周期为 2的周期函数, 它在, )上的表达式为f(x)= 2x 22 x2x 2x ,2将 f(x)展开成傅里叶级数.7. 求函数f(x,y)= x3x20,+y3 y 2,x2x2+y 2y 2=00在原点的偏导数 f x (0,0) 与 f y (0,0) , 并考察 f (x, y) 在(0,0) 的可微性.8. 试求方程u ux2 + u2 = f (x, u) + g(x, y, u) 所确定的函数的偏导数 ,.x yL xy 2 dy x 2 ydx, L 为以a 为半径,圆心在原点的右半圆周从最上面一点 A 到最下面一点 B.10求锥面 z = x 2 + y 2 被柱面 z 2 = 2x 所截得部分的曲面面积.第 1 页，共 2 页 A + 上一致连续，且 ,)(注意：答案请做在答题纸上，做在试卷上无效二、证明题：（共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分）11设limnan=a,证明:limna1+a2+nL+an=a.12设 f 在 x = 0 连续，且对任何 x, y R 有 f (x + y) = f (x) + f ( y) ，证明： f 在 R 上连续.13设 f 在(a, b) 内连续，且limxa+f(x)=limxbf(x)=0. 证明： f 在(a, b) 内有最大值或最小值.14. 证明：若 f 在+af (x)dx 收敛，则limx+f(x)=0.15. 设 f (x) 为二阶可微函数, F (x) 为可微函数.证明函数u(x,t)=12f(xat)+f(x+at)+12ax+at F xat(z)dz满足弦振动方程 2 ut 2=a2 2 ux 2及初值条件u(x,0)=f(x),ut(x,0)=F(x).16. 设 S 为光滑闭曲面，V 为 S 所围的区域。函数u(x, y, z) 在 V 与 S 上具有二阶连续偏导数，函数(x, y, z) 偏导连续.证明：(1)udxdydzxV=udydzS-uVdxdydzx;(2) udxdydzV=udSnS- u dxdydzV.三、综合题：（共 2 小题，每小题 11 分，共 22 分）17. 在 区 间 1 x 3 内 用 线 性 函 数 a + bx 近 似 代 替 f (x) = x 2 , 试 求 a, b 使 得 积 分31a+bxx2 )2dx取得最小值.18. 判断并证明:若 D R n 为任何闭集, f : D D ,且存在正实数 q (0,1) ,使得对任何x, x D ,满足 f (x) f (x) q x x , 则在 D 中是否存在 f 的唯一不动点 f (x* ) = x* ？第 2 页，共 2 页
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