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2021年研究生入学考试数学三真题模考卷(一) (闭卷笔试180分钟) 题号一二三 分数 一、选择题（1-8小题，每小题4分，共32分，只有一个选项符合要求） 1.若反常积分+10 1xa(1+x)bdx收敛，则( ) (A)a 1 (B)a 1且b 1 (C)a 1 (D)a 1且a+b 1 2.已知函数f(x) = 2(x 1);x 1 lnx;x 1，则f(x)的一个原函数是( ) (A)F(x) = (x 1)2;x 1 x(lnx 1);x 1 (B)F(x) = (x 1)2; x 1 x(lnx+ 1) 1; x 1 (C)F(x) = (x 1)2;x 1 x(lnx+ 1) + 1;x 1 (D)F(x) = (x 1)2;x 1 x(lnx 1) + 1;x 1 3.已知函数f(x) = x; x 0 1 n; 1 n+1 x 1 n;n = 1;2; 则( ) (A)x = 0是f(x)的第一类间断点(B)x = 0是f(x)的第二类间断点 (C)f(x)在x = 0处连续但不可导(D)f(x)在x = 0处可导 4.若级数 1 n=1 an条件收敛，则x = p3与x = 3依次为幂级数 1 n=1 nan(x 1)n的( ) (A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点 (C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点 5.下列矩阵中与 0 BB 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 CC A相似的为( ) (A) 0 BB 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 CC A (B) 0 BB 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 CC A (C) 0 BB 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 CC A (D) 0 BB 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 CC A 6.设A、B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X,Y)表示分块矩阵，则( ) (A)r(A;AB) = r(A) (B)r(A;BA) = r(A) (C)r(A;B) = maxfr(A);r(B)g (D)r(A;B) = r(AT;BT) 7.设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的 (0 u g = ,若PfjXj xg = ,则x等于( ) (A)u 2 (B)u1 2 (C)u1 2 (D)u1 8.已知X1;X2;:;Xn为来自总体X N ( ; 2)的随机样本,X = 1n n i=1 Xi;S = 1 n 1 n i=1 (X i X )2 S = 1 n 1 n i=1 (Xi )2,则( ) 第1页,共3页 (A) pn(X ) S t(n) (B) pn(X ) S t(n 1) (C) pn(X ) S t(n) (D) pn(X ) S t(n 1) 二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分） 9.极限lim n!1 1 n2 (sin 1 n + 2sin 2 n + +nsin n n ) = 10.设函数f(x) = arctanx x1+ax2且f(0) = 1,则a = 11.以y = x2 ex和y = x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为 12.已知函数f(x)在( 1;+1)上连续，且f(x) = (x + 1)2 + 2x0 f(t)dt，则当n 2时，f(n)(0) = 13.设2阶矩阵A有两个不同特征值， 1; 2是A的线性无关的特征向量，且满足A2 ( 1 + 2) = 1 + 2,则jAj = 14.随机事件A、B、C相互独立，且P(A) = P(B) = P(C) = 12,则P(ACjAB) = 三、简答题（15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. (本题满分10分) 已知实数a,b满足lim x!+1 (ax+b)e1x x = 2,求a,b. 16. (本题满分10分) 已知平面区域D = (r; )j2 r 2(1 + cos ); 2 2,计算二重积分D xdxdy. 17. (本题满分10分) 一根绳子长2m，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面积总和最小， 并求该最小值. 18. (本题满分10分) 求曲线y = e x sinx(x 0)与x轴之间图形的面积. 19. (本题满分10分) 已知函数f(x)可导，且f(0) = 1;0 f(x) 12,设数列xn满足xn+1 = f (xn)(n = 1;2:)，证明： (I)级数 1 n=1 (xn+1 xn)绝对收敛 (II) lim n!1 xn存在，且0 lim n!1 xn 2 20. (本题满分11分) 设实二次型f (x1;x2;x3) = (x1 x2 +x3)2 + (x2 +x3)2 + (x1 +ax3)2，其中a是参数. (I)求f (x1;x2;x3) = 0的解. (II)求f (x1;x2;x3)的规范型 21. (本题满分11分) 已知a是常数，且矩阵A = 2 66 4 1 2 a 1 3 0 2 7 a 3 77 5经初等变换化为B = 2 66 4 1 a 2 0 1 1 1 1 1 3 77 5 (I)求a. (II)求满足AP = B的可逆矩阵P. 第2页,共3页 22. (本题满分11分) 设二维随机变量(X,Y)在区域D = f(x;y)0 x 1;x2 y Y (I)写出(X,Y)的概率密度. (II)问U与X是否相互独立？并说明理由. (III)求Z = U +X的分布函数. 23. (本题满分11分) 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质量 是已知的， 设n次测量结果X1;X2; ;Xn相互独立且均服从正态分布N ( ; 2).该工程师记录的是n次测量的绝 对误Zi = jXi j;(i = 1;2; ;n)差利用Z1;Z2; ;Zn估计参数 (I)求Zi的概率密度. (II)利用一阶矩求 的矩估计量. (III)求参数 的最大似然估计量. 第3页,共3页
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