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中 国科 学院 大学 2013 年招 收攻 读硕 士学 位研 究生 入学 统一 考试 试题 科目 名称 ：高 等数 学（ 甲） 考 生须 知： 1 本试 卷满 分为 150 分，全 部 考试 时间 总计 180 分钟 。 2所 有答 案必 须写 在答 题 纸上， 写在 试题 纸上 或草 稿纸上 一律 无效 。 一、 选择题 （本题 满分 50 分， 每 小题 5 分。 请从 题目 所 列的选 项中 选择 一个 正确 项填 充空格 。 每 题的 四个 备选 项中只 有一 个是 正确 的， 不选、 错选 或多 选均 不得 分。 请将 你 的选择 标清 题号 写在 考场 发的答 题纸 上， 直接 填写 在试题 上无 效。 ） (1) 函数 的导函 数 在 上是 连续函 数， , 则函 数 一定是 （ ） 。 (A) 有界 可微 函数 (B) 有界 连续 函数 (C) 连续 可微 函数 (D) 以上结 论都 不正 确 (2) （ ） 。 (A) 1 (B) (C) (D) (3) 函数 在区 间 上 的最 大值 是（ ） 。 (A) (B) (C) (D) (4) 设 ，下 面四 个结 论正 确的是 （ ） 。 (A) (B) (C) (D) 科目名称：高等数学（甲） 第1 页 共3 页 (5) 已知 , 则 （ ） 。 (A) 20 (B) 10 (C) 5 (D)不能 确定 (6) ( ) 。 (A) 0 (B) (C) (D) 不 存在 (7) 设 在 ( 2, 2) 区间 内可 导且 ， ， 为单位 圆周 被 和 轴正半轴所夹的弧段，则关于弧长的曲线积分 和满足 ( ) 。 (A) (B) (C) (D) (8) 设二阶线性齐次常系数微分方程 的任一解 满足当 时 ，则实 数 满足 ( )。 (A) (B) (C) (D) (9) 幂 级数 的收敛 域是 ( ) 。 (A) (B) (C) (D) (10) 过 点且与直线 及 都平行的平面方程为 ( ) 。 (A) (B) (C) (D) 二、( 本题满分 10 分) 计算 。 三、 ( 本题满分 10 分) 求微分 方程 满足 初始 条件 的解。 四、( 本题满分 10 分) 求函 数 在区间 上的傅 里叶 级数。 科目名称：高等数学（甲） 第2 页 共3 页 五、( 本题满分 10 分) 求曲面积分 ，其中 为由 的上侧 （ 法向 量与 轴 正向夹 角 为锐 角的 一侧） 及 的下 侧 围成 的有 向曲 面。 六、 ( 本题满分 10 分) 假设函 数 满足 且对于 , ， 证明 存在, 且不 大于 。 七、( 本题满分 10 分) 设 两个连 续函数 满足 ：当 时， 。 证明存 在唯 一的 数 使得 。 八、( 本题满分 10 分) 证明 。 九、( 本题满分 10 分) 设 ，求 和 。 十、( 本题满分 10 分) 函数 在 上连 续, 在 内 可导. 证明存 在 , 使得 。 十一 、( 本题满分 10 分) 函数 在 上二阶可导，且对任意 ，有 和 ， 证明 ，对 任意 ， 成立。 科目名称：高等数学（甲） 第3 页 共3 页
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