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中国科学院研究生院 2012年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（甲） 考生须知： 1本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、 选择题 (本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。) (1) 函数 , 正确结论是 ( )。 (a) 在 内有界 (b) 当 时 为无穷大 (c) 在 内无界 (d) 当 时 极限存在 (2) 函数 在 上是连续函数, 且 。 则 的最大取值区间是 ( )。 (a) (b) (c) (d) (3) 微分方程 的一个特解是 ( )。 (a) (b) (c) (d) (4) 已知 是正整数,且 , 如果 则下面结论正确的一个是 ( )。 (a) (b) (c) (d) 的大小关系不确定 (5) 函数 在其定义域内零点的个数是 ( )。 (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 多于3 科目名称：高等数学（甲） 第1页 共3页 (6) 若函数 的导函数在 上连续,则( )。 (a) (b) (c) (d) (7) 若幂级数 在 处条件收敛，则级数 ( )。 (a) 条件收敛 (b) 发散 (c) 绝对收敛 (d) 不能确定 (8) 设 为螺旋面 , , 的一部分， , , 则 的值为 ( )。 (a) (b) (c) (d) (9) 的值为 ( )。 (a) (b) (c) (d) (10) 一平面过点 且与直线 垂直，则该平面与平面的交线的方向数是 ( )。 (a) (b) (c) (d) 二、(本题满分10分) 证明极限 存在, 并求出极限值。 三、（本题满分10分）求微分方程 的通解。 四、(本题满分10分) 计算 ，其中 是由抛物线 和抛物线 围成的闭区域。 五、(本题满分10分) 将函数 ( )展开成正弦级数。 六、(本题满分10分) 设函数 , 求 的值。 七、 (本题满分10分) 计算曲线积分 ，其中 是由直线 和半圆周 所围成的闭曲线，方向为逆时针方向。 科目名称：高等数学（甲） 第2页 共3页 八、(本题满分10分) 设函数 连续,且 ，记 , 求 , 并讨论 的连续性。 九、(本题满分10分) 函数 在 上连续，在 内可导， 。 证明存在 , 使得 。 十、(本题满分10分) 函数 在 上满足 。 证明 。 十一、(本题满分10分) 设 , 函数 在 上连续, 且 。 证明在 上至少存在三个不同点 ，使得 。 科目名称：高等数学（甲） 第3页 共3页
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