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中国科 学院 大学 2013 年 招收 攻 读硕士 学位研 究生入 学统一 考试试 题 科目名 称：高 等代数 考 生须 知： 1本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1(15 分) 求下面 1 n + 阶行列式的值 01 2 1 12 3 2 23 4 1 1 2 21 1 n n n n nn n n ss s s ss s s x Ds s s s x ss s s x + + = 其中， 12 kk k kn sxx x =+ 。 2(15 分) 假设矩阵 A 与 B 没有公共的特征根， () fx 是矩阵 A 的特征多项 式，证明以下结论： 1) 矩阵 () fB 可逆； 2) 矩阵方程 AX XB = 只有零解。 3 (15 分) 设 ( ) , 1, ij ij n Aa = 是斜对称方阵， 即 ( ) , 11 , , 1, 2, , ij n j ni a a ij n + + = = ， 证明：若 A 可逆，则其逆阵也是斜对称方阵。 4(20 分) 设二次曲面 2 22 2 22 4 x ay z bxy xz yz + + = 可以经由正交变换 x yP z = 化成椭圆柱面方程 22 44 += ，试求 , ab 和正交矩阵 P 。 科目名称：高等代数 第1 页 共2 页 5(15 分) 假设 3 阶实方阵 A 满足： 2 AE = ， E 是单位方阵， AE 。 证 明 ( ) 2 () 1 Tr A = ，其中 () Tr A 表示矩阵 A 的迹。 6(15 分) 设 A 为 n 阶半正定实矩阵。证明：|A+2013E|2013 n ， 等号成 立当且仅当A=0。其中， E 是单位矩阵。 7. (15 分) 证明：任何一个实方阵均可表示成两个对称矩阵的乘积，其中 至少有一个矩阵可逆。 8(15 分) 设 A 是一个 33 正交矩阵， 证明 A 可以写成 CR ，其 中 C 对应 于 3 R 中的旋转变换，R 对应于 3 R 的恒等变换或对应于 3 R 中的镜面反射变换，其 中 R 表示实数域。 9(10 分) 设V 是数域F 上的有限维向量空间， 是V 上的线性变换。证明 V 能够分解成两个子空间的之和 VUW = ，其 中 ， , UW 满足： 对任意uU ， 存在正整数 k 使得 () 0 k u = ；对任 意 wW ，存在 m vV ，使得 () m m wv = 对所 有的正整数 m 。 10(15 分) 设V 是实数域 R 上的 n 维线性空间， 是V 上的线性变换， 满足 2 = （ 是V 上的恒等变换） 。 1) 证明 n 是偶数； 2) 若 是V 上的线性变换，满足 = ，证明 det( ) 0 。 科目名称：高等代数 第 2 页 共 2 页
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