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840 华南理工大学 2018 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 （试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：信号与 模式基础综合 适用专业：控制科学 与工程 共 4 页 第 1 页 1. (1) 一个系统的输入 (t)x 和输出 (t)y 之间的关系由下式给出 0 , 0() ( ) ( 2 ), 0tyt x t x t t 请分析说明 该系统是否为线性时不变系统？ （ 6 分） (2) 离散时间信号 0 sin( )x n n 是否为周期信号？如果是，周期是多少？（ 5 分） (3) 计算离散时间信号 6 cos( )7x n n的傅里叶级数系 数 ka ，并画图表示。（ 5 分） 2. (1) 一个线性时不变系统对输入 (t)x 的响应是 (t)y ，证明：该系统对输入 (t)(t) dxxdt 的响应是 (t)(t) dyydt 。（ 5 分） (2) 一个连续时间信号 (t)x 的傅里叶变换是 (j )X ，证明：信号 (t)tx 的傅里叶变换是 (j )djXd 。（ 5 分） (3) 一个线性时不变系统，如果输入信号 ( ) ( )txt e u t 得到的输出是31 1 1( ) ( )4 2 4t t ty t e te e u t ，求该系统的单位冲激响应，并写出该系统的微分方程。（ 10 分） 3. 两个离散时间信号 1xn和 2xn分别如下图 (a)和 (b)所 示 ， 其中 111 1, 0, N n Nxn 其 它 2xn是将 1xn进行周期性扩展，周期为 12NN 。请分别计算： 第 2 页 (1) 1xn的傅里叶变换 1(e )jX ； (2) 2xn的傅里叶级数 系数 ka ； (3) 2xn的傅里叶变换 2(e )jX 。（ 15 分） 4. 一个系统的拉普拉斯变换为 1()( 1)( 2)Xs ss ，请根据其极点分布，求出所有与该变换对应的信号序列及其收敛域。（ 9 分） 5. 已知一个 连续时间信号 ()xt 的频谱如下图所示。现利用冲激串 ( ) ( )np t t nT对其进行采样，得到 ( ) ( ) ( )px t x t p t。令 2s T。 (1) 求出 ()pxt的频谱 ()pXj的表达式，并 分别画出 sM ， 2M 和 4M 时 的频谱 ， 然后 说明采样周期 T 满足什么条件时，可以从 ()pxt重构 ()xt ？（ 9 分） 第 3 页 (2) 如果 ()xt 是 6 Hz的正弦波，采样频率是 8Hz，用于重构的理想低通滤波器带宽等于采样频率，即 ( j ) 1 , 0 .5 0 .5ssH ， 其余频带 (j ) 0H 。请问重构后的信号频率是多少？如果采样频率为 20Hz，那么重构后的信号频率是多少？请分别画图说明。 （ 6 分） 6. 执行任务为传送带中苹果与梨的自动分类，请简述该任务对应的模式识别系统中的基本操作及每个操作的作用。（ 10 分） 7. 假设在某个医院中对就诊患者的细胞判别中，正常（ 1w ）和癌变（ 2w ）两类先验概率分别为 12( ) 0.9, ( ) 0.1P w P w，现有一待识别细胞，其观察值记为 x ，从类 条件概率密度分布曲线上查得 12( x | ) 0 .3 , ( x | ) 0 .6 5P w P w，并且已知判别风险函数为 1 1 1 2 2 1 2 20 , 8 , 1, 0 ，那么： a) 请使用基于最小错误率的贝叶斯决策方法对该细胞 x 进行分类决策；（ 6 分） b) 请使用基于最小风险的贝叶斯决策方法对该细胞 x 进行分类决策； （ 6 分） c) 分析这两种结果的异同与原因。 （ 3 分） 8. 线性判别分析是一种常用的数据降维方法， 现用其对以下两类样本集进行 分析：12 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 0 , 2 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 2 ) , ( 2 , 2 , 2 ) T T T T T T T Tww。 a) 请描述线性判别分析的基本思想； （ 6 分） b) 请使用线性判别分析方法确定一个直线方向，能够使这两类样本在投影到该直线后达到最佳分类效果。 （ 9 分） 9. 已知某医院体检数据中， 5 个检测者的血液量与红血球的测量数据如下：( 4 5 , 6 . 5 3 ) , ( 4 2 , 6 . 3 0 ) , ( 3 5 , 5 . 9 0 ) , ( 5 8 , 9 . 4 9 ) , ( 4 0 , 6 . 2 0 )。请利用最小二乘估计思想，推导并求解自变量 血液量与变量红血球的线性回归方程。 （ 10 分） 10. 现有样本集 ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 2 ,1 ) , ( 0 ,1 ) T T T TX ，试用 K-means 算法进行聚类分析（类别数 2C ），其中 第 4 页 a) 初始聚类中心 为 (0,0) ,(0, 6)TT ，能否顺利将上述样本集聚成两类？试分析可能会出现的问题。 （ 6 分） b) 初始聚类中心为 (0,0) ,(1,0)TT，请计算该样本集的聚类结果。 （ 9 分） 11. 对一 幅 道路图像，希望能把道路部分划分出来。请按自己的理解，分别用有监督学习和无监督学习的方法，描述这一任务的完成。 （ 10 分）
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