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杭 州 师 范 大 学2019 年招收攻读硕士研究生考试题 考试科目代码： 723 考试科目名称： 量子力学 说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。一、填空题（每空2分，共20分）1. 如果一个一维谐振子的频率是，则其第一激发态能量是 ，相应的简并度为 。2. 在粒子数表象|n下，naaaan= 。3. 若某一力学量A不显含时间，且与体系哈密顿量H对易，则A是 。4. 一个量子态在坐标表象下的波函数，与其在动量表象下的波函数是通过 变换联系起来的。5. 厄米算符的本征值必定是 数。6. 一粒子在一维方向(x)上运动，在t时刻的波函数为x,t=1/2214exp(-x242-it/2)，其中，为常数，则其坐标空间上的概率密度是 。7. 若某一态矢量|=(ab)，其中a,b为复数，则(|)= ，对应的归一化方程可以表示为 。8. 对于Pauli矩阵，xyz= 。二、简答题（每题5分，共20分）1. C60分子的双缝实验，和光电效应的物理意义分别是什么？2. 写出一般情况下的含时薛定谔方程，定态薛定谔方程，以及对应于本征能量E的定态波函数表达式。3. 解释量子隧道效应，并说明有无经典对应。4. 考虑一个没有相互作用的两粒子体系，若可能占据的单粒子态为|1和|2，当这两个粒子是（1）全同费米子；（2）全同玻色子时，请分别写出该体系可能的归一化波函数。三、计算题（每题25分，共50分）1. 设nlm(r,)=Rnl(r)Ylm(,)为氢原子能量为En的定态波函数（已归一化），若当t=0时氢原子处于状态(t=0)中, t=0=(110+2211+3210+c2,1,-1)/10,其中c是实常数。求：（1）确定c的数值；（2）若当t0时氢原子波函数(t0)；（3）轨道角动量平方l2及第三分量lz的可能值和平均值。2. 求绕固定轴（取为z轴）的转子的能量本征值和本征态（H=lz22I=-22I22,I是转动惯量）。四、证明题（每题20分，共60分）1.假设某一体系的势场V是实数，若是定态薛定谔方程的一个解，对应于本征能量E，证明*也是该薛定谔方程的解，对应的本征能量也是E。2. 已知l=lxily，证明（1）l-,l+=-2lz；（2）l,lz=l。3.证明AB=AB+i(AB)。
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