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宁 波 大 学 2020 年 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 初 试 试 题 (A 卷 )(答 案 必 须 写 在 考 点 提 供 的 答 题 纸 上 )第 1 页 共 3 页科 目 代 码 ： 872 总 分 值 ： 150 科 目 名 称 ： 量 子 力 学一 简 答 题 （ 每 小 题 6 分 ,共 30 分 ）1. 请 回 答 ： 什 么 叫 量 子 力 学 的 态 叠 加 原 理 （ 分 述 其 数 学 描 述 与 物 理 意 义 ） ？ 量 子 力 学 的 态 叠 加 原 理 与 经典 波 函 数 的 叠 加 性 有 什 么 异 同 ？2. 试 在 zS 为 对 角 的 表 象 中 ，A.求 01 102S x 的 本 征 值 与 对 应 的 本 征 矢 ；B.当 电 子 处 在 xS 的 本 征 态 上 时 ， 测 量 该 电 子 的 自 旋 角 动 量 的 z 分 量 ， 有 哪 些 可 能 值 ？ 其 几 率 各 为 多 少 ？3. 证 明 厄 米 算 符 的 本 征 值 一 定 为 实 数 ， 其 本 征 矢 正 交 。4. 力 学 量 G 在 其 自 身 表 象 下 的 矩 阵 一 定 是 对 角 矩 阵 吗 ？ 举 一 个 例 。5. 简 述 量 子 力 学 五 个 基 本 假 设 。二 计 算 题 （ 共 120 分 ）1.（ 10 分 ） 氢 原 子 处 在 基 态 0/301),( arear ， （ 注 意 ： 这 里 222 zyxr ） 。 计 算 势 能r2e-U 的 平 均 值 。2.（ 15 分 ） 质 量 为 的 粒 子 在 外 场 作 用 下 作 一 维 运 动 ， （ x- ） ， 已 知 当 其 处 于 束 缚 态 )(1 x 时 ，动 能 的 平 均 值 等 于 1E ， 并 已 知 )(1 x 是 实 函 数 。 试 求 粒 子 处 于 态 ikxexx )()( 12 （ k 为 实 数 ） 时 动量 的 . 22 ppp 3.（ 20 分 ） 自 旋 21s 并 具 有 自 旋 磁 矩 SM 0 的 粒 子 处 于 沿 x 方 向 的 均 匀 磁 场 中 ， 已 知 0t 时 ， 粒 子的 自 旋 角 动 量 z 分 量 2/zS ， 求 t时 刻 发 现 粒 子 自 旋 角 动 量 y 分 量 2/yS 的 几 率 。4.（ 20 分 ） 有 一 个 量 子 体 系 ， 其 态 矢 空 间 为 三 维 ， 在 所 选 择 的 基 矢 3|,2,1| 系 中 体 系 的 Hamiltonian与 另 一 算 符 A 的 矩 阵 形 式 是 .010 100 001,200 020 001 0 aAH 设 0t 时 体 系 的 态 矢 为 ,3|212|211|21| 宁 波 大 学 2020 年 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 初 试 试 题 (A 卷 )(答 案 必 须 写 在 考 点 提 供 的 答 题 纸 上 )第 2 页 共 3 页科 目 代 码 ： 872 总 分 值 ： 150 科 目 名 称 ： 量 子 力 学求 ： （ 1） 0t 时 刻 测 量 体 系 的 能 量 有 哪 几 种 可 能 结 果 ， 相 应 的 几 率 是 多 少 ， 平 均 值 是 多 少 ；（ 2） s1t 时 刻 测 量 体 系 的 力 学 量 A 有 哪 几 种 可 能 结 果 ， 相 应 的 几 率 是 多 少 ， 平 均 值 是 多 少 。5.（ 20 分 ） 设 已 知 在 ZLL 2和 的 共 同 表 象 中 ， 算 符 yx LL 和 的 矩 阵 分 别 为 010 101 0102xL 00 0 0022 i ii iLy 求 它 们 的 本 征 值 和 归 一 化 的 本 征 矢 。 最 后 将 矩 阵 yx LL 和 对 角 化 。6.（ 20 分 ） 转 动 惯 量 为 I、 电 偶 极 矩 为 D 的 空 间 转 子 处 在 均 匀 电 场 在 中 ， 如 果 电 场 较 小 ， 用 微 扰 法 求转 子 基 态 能 量 的 二 级 修 正 。7.（ 15 分 ） 利 用 Baker-Hausdorff 公 式 .,!21,!11 BAABABeBe AA（ 1） 证 明 ： . 1 brUrU 这 里 pbiU exp 称 为 平 移 算 符 。 p 是 动 量 算 符 ， b为 常 算 符 。（ 2） 证 明 ).exp(a 1 tiVaV 这 里 ， aatiV exp ，而 aa , 是 谐 振 子 的 升 降 算 符 ， w 为 c 数 ， i 是 虚 数 单 位 。计 算 中 可 能 需 要 用 到 的 公 式 ：(1)20 2xe dx ， 220 4xx e dx .(2) 20 01, 2,x xe xdx e x dx 40 24xe x dx 宁 波 大 学 2020 年 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 初 试 试 题 (A 卷 )(答 案 必 须 写 在 考 点 提 供 的 答 题 纸 上 )第 3 页 共 3 页科 目 代 码 ： 872 总 分 值 ： 150 科 目 名 称 ： 量 子 力 学(3) 00 1( , ) ;4Y 101 1 3( , ) cos ;4 3( , ) sin .8 iYY e
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