东华理工大学 2018年硕士生入学考试初试试题高等数学.pdf

注意：答案请做在答 题纸 上，做在试卷上无效 第 1 页 ，共 3 页 东华理工大学2018 年硕士生入学 考试初试试题 科 目代 码： 601 ; 科目名称： 高等 数学 ；（ A 卷） 适 用专 业（ 领域 ）名 称： 化学、电路与 系统、计算机科学与 技术 、环境科学与工程 一 、选择 题： （共 8 小题 ，每 小题 4 分，共 32 分） 1数列极限 = = dtttnJnn112cos 1lim （ ） （A ）0. （B ）1. （C ） . （D ）21. 2设函数 内 则在 不恒 为常数 但 且 上连续 在 ) , ( , ) ( ), ( ) ( , , ) ( b a x f b f a f b a x f = ( ) （A ）既有极大值又有极小值. （B ） 至少存在一点 0 ) ( , = f 使 . （C ）必有最大值或最小值. （D ） 既有最大值又有最小值. 3 设 + + +=0 , sin0 , 1) (22x x b ex ax xx fx在 0 = x 处二阶导数存在， 则常数 b a, 分别是 （ ） （A ） 1 , 1 = = b a （B ）21, 1 = = b a （C ） 2 , 1 = = b a （D ） 1 , 2 = = b a 4设 ) , ( y x f 有连续的偏导数且 ) )( , ( xdy ydx y x f + 为某一函数 ) , ( y x u 的全微分， 则下列等式成立的是 （ ） （A ）yfxf= （B ）yfyxfx= （C ）yfyxfx= （D ）xfyyfx= 5下列反常积分 + +023 4x xdx. +02)1( dxxxex. +=032dx e xx. 20sinxdx. 中收敛的是 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ）. 6. 设 D 是由直线 1 , 0 , 0 = + = = y x y x 在第一象限所围成的平面区域，则= =+Dy xd e J 2) ( （ ） （A ） 1 + e （B ） 1 e （C ）21 + e （D ）21 e 7设+=202) sin 1 ln() (xdtttx f ，=xdt t x gcos 102tan ) ( ，则 0 x 时 ) (x f 是 ) (x g 的（ ） （A ）高阶无穷小.（B ）低阶无穷小. （C ）同阶而非等价无穷小.（D ）等价无穷小. 注意：答案请做在答 题纸 上，做在试卷上无效 第 2 页 ，共 3 页 8微分方程xxe y y y 2 2 3 = + 的待定特解形式为 （ ） （A ）xe B Ax ) ( + （B ）xAxe （C ） xe Ax2 （D ）xe B Ax x ) ( + 二、 填空 题： （共 6 小题 ，每 小题 4 分，共 24 分） 9xxxsin20) 3 1 ( lim + = . 10微分方程 ydx dy x y = ) 2 3 ( 的通解是 . 11 设+=2 22) , (y xxytdt e y x f ，则 = ) , ( y x df . 12已知xx ln是 ) (x f 当 0 x 的一个原函数，则 dx x f x ) (2= . . 13设 D 是以点 ) 1 , 1 ( ), 1 , 1 ( ), 1 , 1 ( C B A 为顶点的三角形区域，则 = + + + =Ddxdy xy y x I 4 ) sin( 3 2 1 2 2 . 14曲线=+ =321t yt x，在 2 = t 处的切线方程为 . 三、 解答 题： （共 8 小题 ，共 94 分， 解答应写 出文 字说明 、证 明过程 或演 算步骤 ） 15 （本题满分 12 分） 设=+ + += , 0 ,) ( ) 2 ( ) 1 ( lim, 0 ,221 lim) (2 2 222xn nnnnnnxnx nxx fnnn 求 ) (x f . 16 （本题满分 12 分） 求累次积分 + =yyxyyxydx e dy dx e dy I121212141. 17 （本题满分 12 分） 设函数 ) (x f 在 1 = x 的某邻域内连续，且有 . 41 1 sin 3 1 ) 1 ( lnlim220 = + + +xx x fx （1）求20) 1 (lim ), 1 (xx ffx+及 ) 1 ( f ； （2）若又设 ) 1 ( f 存在，求 ) 1 ( f . 注意：答案请做在答 题纸 上，做在试卷上无效 第 3 页 ，共 3 页 18 （本题满分 12 分） 设z f xyxy= ( , ) ， f 二阶连续可微，求22xz. 19 （本题满分 12 分） 设 ) (x f 在区间 1 , 0 上可微，且满足条件 dx x xf f=210) ( 2 ) 1 ( . 试证：存在 ) 1 , 0 ( ，使 0 ) ( ) ( = + f f . 20 （本题满分 10 分） 证明： . ) 0 (1arctan) 1 ln( + + xxxx 21 （本题满分 12 分） 设非负函数 上满足 在 1 , 0 ) (x f ) ( ) ( x f x f x = ,223xa+ 曲线 ) (x f y = 与直线 1 = x 及 坐标轴所围图形面积为 2 , （1）求函数 ; ) (x f （2） a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体体积最小? 22 （本题满分 12 分） 设可微函数 f x ( ) 0 满足 f x e e f t tax a x tx( ) ( ) d( )= +2 20，求 f x ( ) 所满足的微分方程.