东华理工大学 2016 年硕士生入学考试初试试题高等代数.docx

+-+=+-A 与)(b(b注意：答案请做在答题纸上，做在试卷上无效东华理工大学 2016 年硕士生入学考试初试试题科目代码： 818;科目名称：高等代数；（ A 卷）适用专业（领域）名称： 数学一、解答题：（共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1.设D=31- 12- 513- 42 0 1- 11- 53- 34，求j =142 jj =1M ，其中2 jMij , Aij 分别为元素aij 的余子式与代数余子式。2.已知 4 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，a1,a ,a23是它的 3 个解向量，其中a1+a2=(2202)T，a2+a3=(1013)T，试求非齐次线性方程组的通解。3.设线性变换s的特征多项式与最小多项式分别为：f(l)=(l+31(l2)2(l3),m(l)(l1)2(l2)(l3)（1）求s的所有不变因子；（2）写出s的若当标准形。二、证明题：（共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分）1.设F = a + b 2 + c 3 + d 6 | a, b, c, d Q，证明F 是数域。2.设 p(x), f (x) Qx ，且 p(x) 在Q 上不可约，证明：如果 p(x), f (x) 在Q 上有公共根，则 p(x) | f (x) 。3.设 A, B 为n 阶方阵，试证明：秩(AB) = 秩(B) ABX=0与BX=0同解。4.设矩阵 A, B 合同， A 可逆，试证明：B 可逆，且 A-1 与B -1 合同。三、综合题：（共 3 小题，每小题 20 分，共 60 分）1.求向量组a1=1 2,a22=24,a34=1 0,a43=0 4 - 2的秩、极大无关组，并将其余向量表示成极大无关组的线性组合。2.设a1=(1101)，a2=(1001)，a3=(11-11)，b1=(1201)，b2=(0110)，求L(a1,a2,a3)+L1,b2)与L(a1,a2,a3)L1,b2)的维数和基。第 1 页，共 2 页注意：答案请做在答题纸上，做在试卷上无效3.已知二次曲面 x 2 + ay 2 + z 2 + 2bxy + 2xz + 2yz = 4 可以经过正交变换化为椭圆曲面方程v 2 + 4w 2 = 4 ，求a, b 的值和正交变换。第 2 页，共 2 页