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重庆理工大学硕士研究生招生考试试题专用纸重庆理工大学2019年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：理学院 学科、专业名称：数学考试科目（代码）：高等代数（822）（A卷） （试题共 3 页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一、填空题（每题4分，共20分）1. 设为阶方阵, 有非零解, 则必有一个特征值是_.2. 设3维列向量 , 线性无关,是3阶方阵,且 ,则 =_.3. 已知阶方阵的特征值为,，则A的伴随矩阵的迹（主对角线元素之和）为_.4. 在中, 若线性变换关于基,的矩阵为,则关于基, 的矩阵为_.5. 设阶方阵的秩为1, 则=_.二、（15分）（1）（7分） 证明：在有理数域上不可约；（2）（8分） 求的全部有理根.第 1 页三、（15分） 设, （1）（7分） 计算的值, 其中是中元素的代数余子式；（2）（8分） 问是否可逆？ 若可逆，求，其中为的伴随矩阵.四、（20分）设有向量组 ：及向量, 问为何值时（1）（6分） 向量可由向量组线性表示，且表示式唯一；（2）（7分） 向量可由向量组线性表示，但表示式不唯一；（3）（7分） 向量不能由向量组线性表示.五、（20分） 设非齐次线性方程组,秩, （1）（10分） 若有一个解 , 是其导出组的一个基础解系, 证明： 线性无关；（2）（10分） 若 为的解，证明：也是的解，其中 为实数, 且.第 2 页六、（20分） 已知、为阶方阵,其中为阶单位矩阵,（1）（10分） 证明：可逆, 并求其逆（用或表示）；（2）（10分） 若 , 求矩阵.七、（20分） 已知二次型 ,且是矩阵的一个特征向量, （1）（6分） 求的值；（2）（7分） 求正交变换, 将二次型化为标准形；（3）（7分） 当时, 求的最大值.八、（20分） 设,是数域上所有2阶方阵构成的集合, （1）（8分） 证明：是的子空间；（2）（12分） 求的一般形式、基和维数.第 3 页
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