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科目代码： 813科目名称： 概率论与数理统计 第 1页 共 2 页 南京审计大学 2021 年硕士研究生招生 考试 初试 （笔试） 试题 （ A 卷 ） 科目代码 : 813 满分 : 150 分 科目名称 : 概率论与数理统计 注意 : 认真阅读答题纸上的注意事项； 所有答案必须写在 答题纸 上，写在本试题纸或草稿纸上均无效； 本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、计算题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分） 1. 设随机变量 X 服从 标准正态分布 (0,1)N ， （ 1） 求 |YX 的概率密度函数 ()Yfy； （ 2） 求 Y 的变异系数。 2. 设随机变量 X 服从均匀分布 (0,1)U ， 当给定 Xx 时，随机变量 Y 的条件概率密度为 | 1,0 ( | ) 0YX xyf y x x ， 其 他 ， （ 1）求 X 和 Y 的联合概率密度 ( , )f xy ； （ 2）求 Y 的边缘密度 ()Yfy； （ 3）求概率 ()PX Y 。 3. 设 1,nXX是来自正态分布 ( ,1)N 的样本，考虑如下假设检验问题 0123HH： , ：， 若检验由拒绝域 2.6WX确定。 （ 1）当 20n 时，求检验犯两类误差的概率； （ 2）如果要使得检验犯第二类错误的概率 0.01 ， n 最小应取多少？ 二、综合题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分） 1. 甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率为 0.4。 比赛可采用三局二胜制或者五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？ （ 需要 分别 计 算 甲在 这 两个比赛制度下 的 获胜概率 ） 2. （ 1）设 1,nXX是来自总体密度函数 ( 1 )( ; ) , , 0 , 1f x c x x c c 的样本， 求参数 的最大似然估计； （ 2）设总 体为均匀分布 ( , 1)U ， 的先验分布为均匀分布 (10,16)U 。 现有三个观测 值： 11.7， 11.1， 12.0。求 的后验分布。 科目代码： 813科目名称： 概率论与数理统计 第 2页 共 2 页 3. 在 无理 数 3.1415926 的前 800 位小数中，数字 0,1,2, ,9 各出现的次数如下： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 74 92 83 79 80 73 77 75 76 91 利用 皮尔逊 2 拟合优度检验 方法 ， 检验 这 10 个数字的出现是否是等概率的？（ 0.05 ） 三、应用题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分） 1. 袋中装有 m 枚正品硬币、 n 枚次品硬币 (次品硬币的两面均印有国徽 )，在袋中任取一 枚，将它投掷 r 次，（ 1） 求投掷 r 次都出现国徽的概率；（ 2）已知 投掷 r 次都出现国徽，问这 枚硬币是正品的概率。 2. 现在 人民富裕了，小轿车 越来越多 ， 各 小区的车位日益紧张。假设一小区有 200 个家 庭， 每个家庭拥有汽车辆数 X 的分布律为 ( 0) 0.1PX， ( 1) 0.6PX ， ( 2) 0.3PX， 求 需要多少车位，才能 使 每辆汽车都 拥 有一个车位的概率至少为 0.95。 3. 在钢丝碳含量对于电阻效应的研究中，得到以下数据 ： 碳含量 x (%) 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 电阻 y ( ) 15 18 19 21 22.6 23.8 26 经计算 7 7 7 7 722 1 1 1 1 13 . 8 , 1 4 5 . 4 , 2 . 5 9 5 , 3 1 0 4 . 2 , 8 5 . 6 1i i i i i ii i i i ix y x y x y ， （ 1） 建立线性回归方程 y a bx ； （ 2） 使用 t 检验 对建立的回归方程做显著性检验 ( =0.01) 。 （ 3） 求 0.50 x 处观察值 y 置信水平为 0.95 的预测区间。 四、证明题（共 2 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 8 分， 共 15 分） 1. 设 12,XX是来自正态分布 2(0, )N 的简单随机样本， 证明 212 12 (1,1)XXYFXX . 2. 设 1,nXX是来自泊松分布 ()P 的 简单随机 样本，证明 1 n iiTX 是充分统计量。 （本试卷可能用到的 数和 分位数： 5 2.236 ， 2 1.414 ， (1.645) 0.95， (2.68) 0.9963 ， (1.79) 0.9633 ， (2.33) 0.9900 ， 20.05 (9) 3.325, 20.05 (10) 3.940, 20.95 (9) 16.919, 20.95 (10) 18.307 ， 0.995 (5) 4.0322t ， 0.975 (5) 2.5706t ， 0.995 (7) 3.4995t ， 0.975 (5) 2.3646t ，这里 分位数 均为下侧分位数 ）
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