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科目代码：813科目名称：概率论与数理统计 第 1页 共 2页 南京审计大学 2019年硕士研究生入学考试初试（笔试）试题 （ A卷 ） 科目代码: 813 满分: 150 分 科目名称: 概率论与数理统计 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、 计算题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分） 1假设随机变量X 服从参数为 2的指数分布，求 （1）求 2 1 X Ye 的概率密度函数 () Y py ； （2）求 2 () EY 。 2. 设二维随机变量(,) X Y 的联合概率密度函数如下： ,0 ,0 (,) 0, xy y ee xy pxy y 其他 求： （1）给定 = Yy X 时， 的条件概率密度函数 (|) pxy； （2）求(1 |) PXYy 。 3. 设 1 , n XX 是来自泊松分布 () P 的样本, 求未知参数 的 Fisher 信息量 () I 和 C-R 下 界。 二、 综合题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分） 1. 设二维随机变量(,) X Y 的联合概率密度函数如下： () ,0 1 (,) 0, kx y y x pxy 其他 求： （1）常数 k 的值； （2）(,) X Y 的边缘概率密度函数 () () XY pxpy 和 ，并判断X Y 和 的独立性。 2. 设总体X 的概率密度为： 2 2 ,0 (,) 0, 0 x x ex px x 0 是常数， ) , , ( 1 n X X 是来自总体X 的容量为n的简单随机样本，求： （1） 的矩估计量 ； （2） 的最大似然估计量 L ； （3）讨论 L 的无偏性。科目代码：813科目名称：概率论与数理统计 第 2页 共 2页 3. 设总体X 服从正态分布 (, 4 ) , N 未知。现有来自该总体样本容量为 16 的样本, 其样 本均值为 14. （1） 试检验 01 : 12.0 : 12.0 HV S H (检验水平 0.05 ); (2)求 的 置信度为 95%的置信区间。 （ (1.645) 0.95 ， (1.96) 0.975 ， () x 是标准正态分 布的分布函数） 。 三、 应用题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分，结果保留小数点后两位） 1. 产品整箱出售，每箱 20 个。每箱有 0，1，2 个次品的概率分别为 0.7，0.2，0.1。一位 顾客欲购买一箱产品，在购买时，营业员随机地取一箱，而顾客从中任取 4只检查，若 无次品，则买下该箱产品，否则退货，求 （1）顾客买下该箱产品的概率； （2）已知顾客买下一箱产品，则该箱都是正品的概率为多少？ 2. 某车间有同型号的机床 200台，在一个小时内每台机床约有 70%的时间是工作的。假定 各机床工作是相互独立的，工作时每台机床每小时要消耗电能 15KW。问每小时至少要 多少电能，才能有不低于 95%的可能性保证此车间正常生产？（ (1.645) 0.95 ，其中 () x 是标准正态分布的分布函数， 42 6.48 ） 3. 设甲、乙两台车床生产同一种产品。今从甲车床生产的产品中抽取 30件，测得平均重量 为 130克，从乙车床生产的产品中抽取 40件，测得平均重量为 125 克，假定两台车床生 产的产品的重量都服从正态分布， 方差分别为 22 12 =60 =80 ， 。 问在显著性水平 0.05 下，两台车床生产的产品重量是否有显著的差异？（ (1.96) 0.975 ，其中 () x 是标 准正态分布的分布函数） 。 四、 证明题（共 2小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 8 分，共 15分） 1. 设 , XYZ ， 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为 0，方差都是 1，证明XY 和 YZ 的相关系数 1 2 。 2. 设 1234 , XXXX ， 是来自正态总体 (0,4) N 样本，令统计量 22 12 34 () () YXXXX ，证明 2 1 ( 2 ) 8 Y
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