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科目代码： 813 科目名称： 概率论与数理统计 第 1 页 共 2 页 南京审计大学 2020 年硕士研究生招生 考试 初试 （笔试） 试题 （ A 卷 ） 科目代码 : 813 满分 : 150 分 科目名称 : 概率论与数理统计 注意 : 认真阅读答题纸上的注意事项； 所有答案必须写在 答题纸 上，写在本试题纸或草稿纸上均无 效； 本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、 计算题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分） 1设二维连续型随机变量 ),( YX 联合密度为 , 0 1 , 0 1( , ) 0, x y x yf x y ， 其 它 . 求： (1) X 与 Y 的边缘密度函数 )(xfX 与 )(yfY ， X 与 Y 独立吗？ (2) )1( YXP ； (3) 条件密度函数 )|(| xyf XY ； (4) )5.0|5.00( XYP 和 )5.0|( XYE . 2. 某箱装有 100 件产品，其中一，二，三等品分别为 80,10,10 件，现在从中随机抽取一件，记 1, ( 1 , 2 , 3 )0, i iXi 抽 到 等 品其 它 . 求： (1) 12( , )XX 的 联合分布列和边际分布列 ； (2) 12,XX的相关系数 ，并问 12,XX 是否独立？为什么？ 3. 已知随机变量 X 服从参 数为 1 的指数分布，其分布函数为 )(xF . 求： (1) )(XFY 的概率密度函数； (2) Y 的特征函数 )(tY ； (3) )cos( YE . 二、综合 题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分） 1. 设 其他0 01);( 1 xexfX ，求 参数 的极大似然估计量，并讨论其是否为 的有效估计量 . 2. (1) 简述 Lindeberg-Levy 中心极限定理； (2) 某校共有 4900 个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为 0.1，试用中心极限定理， 求阅览室需要准备多少个座位才能以 99% 的概率保证每个去阅览室的学生都有座位？ ( 99.0)3263.2(0 ，其中， )(0 x 是标准正态分布的分布函数 ) 3. 假设总体 X 的密度函数为 00 0 xxexf x, ,)( 51 , XX 是来自总体 X 的样本， 科目代码： 813 科目名称： 概率论与数理统计 第 2 页 共 2 页 求： (1)次序统计量 )(1X 和 )2(X 的密度函数 )(xg1 和 )(2 xg ； (2) (1)( 1)PX ； (3) )(1DX . 三、应用题（共 3 小题，每题 15 分，共 45 分） 1. 某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量 x 与消光系数 Y 的结果如下 尿汞含量 x 2 4 6 8 10 消光系数 Y 64 138 205 285 360 (1) 求 Y 对 x 的回归方程； (2) 在显著性水平 05.0 下检验回归方程的显著性 . ( 13.10)3,1(95.0 F ) 2. 某市统计局三名统计员分别登录 100 张农业经济调查表 . 甲登录了 38 张，乙登录了 40 张，丙登录了 22 张，根据以往经验，甲出错的概率是 1%，乙出错的概率是 1.5%，丙出错的概率是 0.8%. 统计局长从 三人登录的调查表中随机抽取了一张， 求： (1) 该表有错误的概率； (2) 假如这张表出错了，问最可能是哪位统计员登录的？为什么？ 3. 假设某厂生产的 缆 绳，其抗拉强度 ),( 2NX ，现在从改进工艺后生产的一批缆绳中随机抽取 10 根，测量其抗拉强度，算得样本均值 053.0 x ，修正的样本方差 22* 0032.0nS . 假设 05.0 ， 求： (1) 方差 2 的置信度为 1 的区间估计 ； (2) 在 显 著 性 水 平 下 ， 是 否 可 以 认 为 缆 绳 的 平 均 抗 拉 强 度 为 0.05 ？ ( 1623.310,2622.2)9(,023.19)9(,7.2)9( 975.02 975.02 025.0 t ) 四、证明题（共 2 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 8 分，共 15 分 ） 1. 设 12( , ,., )nX X X 为正态总体 2 ( , )XN 的样本， 20S 为未修正的样本方差， 证明： 2 20( 1 ) ( ) (1 , 1 ) .nX FnS 2. 设 ,., 21 XX 两两不相关且同分布于 0,1上的均匀分 布 . 证明 ： 1, nXn 服从大数定律 .
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