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中国科学院大学 硕士研究生入学考试 概率 论与数理 统计考试大纲 本概率论与数理统计考试大纲适用于中国科学院 大学 非数学类 的硕士研 究生入学考试。概率统计是现代数学的重要分支，在物理、化学、生物、计算机 科学等学科有着广泛的应用。考试的主要内容有以下几个部分： 概率统计中的基本概念 随机变量及其分布 随机变量的数学特征及特征函数 独立随机变量和的中心极限定理及大数定律 假设检验 点估计及区间估计 简单线性回归模型 要求考生对基本概念有深入的理解，能计算一些常见分布的期望、方差，了解假 设检验、点估计及区间估计的 统计意义，能解决一些经典模型的检验问题、区间 估计及点估计。最后，能理解大数定律及中心极限定理。 一、 考试内容 （一） 基本概念 1 样本、样本观测值 2 统计数据的直观描述方法：如干叶法、直方图 3 统计数据的数字描述：样本均值、样本方差、中位数事件的独立性、 样本空间、事件 4 概率、条件概率、 Bayes 公式 5 古典概型 （二） 离散随机变量 1 离散随机变量的定义 2 经典的离散随机变量的分布 a. 二项分布 b. 几何分布 c. 泊松分布 d. 超几何分布 3 离散随机变量的期望、公差 4 离散随机变量的特征函数 5 离散随机变量相互独立的概念 6 二维离散随机变量的联合分布、条件分布 、边缘分布及二个离散随机 变量的相关系数 （三） 连续随机变量 1 连续随机变量的概念 2 密度函数 3 分布函数 4 常见的连续分布 a. 正态分布 b. 指数分布 c. 均匀分布 d. t 分布 e. 2分布 5 连续随机变量的期望、方差 6 连续随机变量独立的定义 7 二维连续随机变量的联合密度、条件密度、边缘分布及二个连续随机 变量的相关系数 8 连续随机变量的特征函数 （四） 独立随机变量和的中心极限定理和大数定律 1 依概率收敛 2 以概率 1 收敛（或几乎处处收敛） 3 依分布收敛 4 伯努利大数定律 5 利莫弗 -拉普拉斯中心极限定理 6 辛钦大数定律 7 莱维 -林德伯格中心极限定理 （五） 点估计 1 无偏估计，克 拉美 -劳不等式 2 矩估计 3 极大似然估计 （六） 区间估计 1 置信区间的概念 2 一个正态总体的期望的置信区间 3 大样本区间估计 4 两个正态总体期望之差的置信区间（方差已知） （七） 假设检验 1 检验问题的基本要素：第一类错误的概率、第二类错误的概率、检验 的功效、功效函数、检验的拒绝域、原假设、备择假设 2 一个正态总体的期望的检验问题 3 大样本检验 4 基于成对数据的检验（ t 检验） 5 两个正态总体期望之差的检验 （八） 简单线性回归模型 1 简单线性回归模型定义 2 回归线的斜率的最小二乘估计 3 回归线的截距的最小二乘估计 4 随机误差（随机标准差）的估计 二、 考试要求 （一） 基 本概念 1 理解样本、样本观测值的概念 2 了解并能运用统计数据的直观描述方法如：干叶法、直方图 3 理解样本均值、样本方差及中位数的概念并能运用相关公式进行计算 4 掌握如下概念：概率、样本空间、事件、事件的独立性、条件概率， 理解并能灵活运用 Bayes 公式 5 理解古典概型的定义并能熟练解决这方面的问题 （二） 离散随机变量 1 理解离散随机变量的定义 2 理解如下经典离散分布所产生的模型 a. 二项分布 b. 几何分布 c. 泊松分布 d. 超几何分布 能熟练计算上述分布的期望、方差，能熟练应用上述分布求出相应 事件的概率 3 了解离散随机变量的特征函数的定义和性质 4 了解两个离散随机变量相互独立的概念 5 理解二维离散随机变量的联合分布、条件分布、边缘分布及两个离散 随机变量的相关系数的概念并能熟练运用相关的公式解决问题 （三） 连续随机变量 1 理解连续随机变量的概念 2 理解密度与分布的概念及其关系 3 熟悉如下常用连续分布 a. 正态分布 b. 指数分布 c. 均匀分布 d. t 分布 e. 2分布 4 了解连续分布的期望、方差的概念 5 了解有限个连续随机变量相互独立的概念 6 理解二维连续随机变量的联合密度、条件密度、边缘分布及二个连续 随机变量的相关系数并能运用相关公式进行计算 7 了解连续 随机变量的特征函数的概念及性质 （四） 独立随机变量和的中心极限定理和大数定律 1 了解依概率收敛、以概率 1 收敛（或几乎处处收敛）、依分布收敛的 定义，了解上述收敛性的关系 2 理解并掌握伯努利大数定律和利莫弗 -拉普拉斯中心极限定理 3 了解辛钦大数定律、莱维 -林德伯格中心极限定理 （五） 点估计 1 理解无偏估计、矩估计、极大似然估计 2 能够计算参数的矩估计、极大似然估计 （六） 区间估计 1 理解置信区间的概念 2 能够计算正态总体的期望的置信区间（包括方差已知、方差未知两种 情况） 3 在样本容量充分大的条件下，能够计算近似置信区间 4 能够计算两个正态总体的期 望之差的置信区间（方差已知） （七） 假设检验 1 理解以下概念：第一、二类错误的概率、检验的功效、功效函数、检 验的拒绝域、检验的原假设、备择假设 2 能给出一个正态总体的期望的检验的拒绝域（包括方差已知、方差未 知） 3 能用大样本方法求拒绝域 4 能给出基于成对数据的检验问题的拒绝域 （八） 简单线性回归模型 1 理解简单线性回归模型定义，能写出模型的数学表达式 2 能计算回归线的斜率、截距的最小二乘估计 3 了解随机误差（随机标准差）的估计 三、 参考书 1 陈希孺，概率论与数理统计，科学出版社，中国科技大学出版社， 1999 2 盛骤，谢式千，潘承毅，概率 论与数理统计，高等教育出版社（第三 版）， 2001 3 刘光祖，概率论与应用数理统计，高等教育出版社， 2000 编制单位：中国科学院 大学 编制日期： 2021年 6月 18日
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