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中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲） 考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题 (本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。)1. 极 限 lim 2 +4+ 2n的值为()。n+ n2n2 +1n2 + n -1 A. 0B.1C.2D.+2设()在 = 处连续, () = ()| |, 则() = 0是()在 = 处可导的()。A充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分又非必要条件1lim(sin x)1-sin xxp3. 极限A.2e-1的值为()。B. 1C. eD.+4设周期函数()在(, +)内可导, 周期为4, 又lim (1)(1) = 1, 则曲线 = ()在点(5, (5)处的切线斜率为()。02A. 1 25. 设向量a = (1, 2, 2),B. 2C. 1D. 2b = (0,1, 2) ，则向量b 在向量a 方向上的投影向量为()。6 12 1 2 2 0 12 2 4 4 A 0,B. , ， C. ， ，D. , ， 5 5 3 3 3 55 3 3 3 科目名称：高等数学（甲）第 1 页 共 3 页 6. 二元函数 f (x, y) 在点(0, 0) 处可微的一个充分条件是（）。Alim f (x, y) - f (0, 0) = 0 .( x, y )(0,0)B lim f (x, 0) - f (0, 0) = 0 ，且lim f (0, y) - f (0, 0) = 0 .x0xy0y 科目名称：高等数学（甲） 第 3 页 共 3 页 C. lim( x, y)(0,0)f (x, y) - f (0, 0) = 0 .x2 + y2D lim fx(x, 0) - fx(0, 0) = 0 ，且lim f y(0, y) - f y(0, 0) = 0 .x0y01n=17级数 n(n+1)(n+ 2) =（）。A0B 1 4C 13D18. 设方程 x + y + z = exy ，则2 zx2+ 2 zy2的表达式是（）。A (x2 + y2 ) exyC 2xy exyB (x + y) exyD (1+ xy) exy2n9. 设a0 = 3 ，a1 = 5 ，且对任何自然数n 1有nan =an-1 - (n -1)an-1 ，则幂级数 an x 3n=0的收敛半径为（）。A 23%0.1 C 3 2D210. 下列反常积分发散的是（）。+x6+1A. 0 1+ ex dxB. 0dxx (1+ x)+1+ 2 sin2 xC. 1x4 ln xdxD. 11+ x2 dx二、（本题满分10 分）已知lim f (x) 存在，而lim f (x)3 1+ xf (x) -1不存在，并且lim= 3 ，求lim f (x) 。x0x0x0x0sin x三、（本题满分 10 分）两平面均通过点 A (-2,1, -1) ，其中一个平面通过 x 轴，另一个平面通过直线x -1 = y +1 = z，求两平面夹角的余弦。21-1四、（本题满分 10 分）设函数由 + 2 = 0,确定, 求。 = ()()2 2x2 + y2 + z2arctan = ln(1 + )五 、 ( 本 题 满 分10 分 ) 已 知 函 数u = f (r), r = ln满 足 方 程2u2u2u222-3 2+= (x +y +z )，求 f (x) 的表达式。x2y2z2六、（本题满分 10 分）设曲线C: y = x3 + 2x 与其在（1，3）点处的切线以及 x 轴围成的区域落在第一象限中的部分为 D，计算：（1）D 的面积；（2）D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。七、（本题满分 10 分）计算下列第二型曲面积分： xdydz + 2 y4dxdz + 3z6dxdy,S其中 S 是椭球面： x2 + 4y2 + 9z2 =1。八、（本题满分 10 分）设 f (x)是周期为 3 的连续函数，证明：在任意长度为 2 的闭区间a, a + 2上至少存在一点q ，使得 f (q ) = f (q +1) 。九、（本题满分 10 分）设(), ()在, 上二阶可导, 且() = () = () = 0. 证明: 存在 (, ), 使得()() + 2()() + ()() = 0。x十、（本题满分 10 分）设 f 是0,1上的连续函数，满足 0f (t)dt 0 对所有的 x 0,1成立11且0 f (t)dt =0 。证明： 0 xf (x)dx 0 。a 3a十一、（本题满分 10 分）求证：若正数 x, y, z 满足 x2 + y2 + z2 = a ，其中a 0 ，则有不等式 x3 + y3 + z3 恒成立。3
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