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中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（乙） 考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、 选择题 (本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。)ex sin 2x, x 0 科目名称：高等数学（乙） 第 1 页 共 4 页 （1）设 f (x) = ax + b, x 0处处连续，处处可导。则a, b 取值为（）。（A） a = 2,b = 0（B） a =1,b = 0（C） a = 2,b =1（D） a = 0,b = 0（2） 下列一元函数积分公式中，错误的是（）。pp（A） 2 f (sin x)dx =2 f (cos x)dx00pp（B） 2 f (sin x, cos x)dx = 2 f (cos x,sin x)dx00p（C） pf (sin x)dx = 2 2 f (sin x)dx00pp（D） f (cos x)dx = 2 2 f (cos x)dx001- x2（3） 1 xdx= （）。0 (2 - x2 )（A） p（B） p（C） p（D） p234n + 2n +1（4） 下列级数不收敛的是（）。 5n-1 + 4n+1 （A） n=132n2n（B） (- 2n=1n+ n )n=1（C） 3n +1（D） qn=1cos nx(| q | 1)（5） 下列说法完全正确的是（ ）。 1（A）令 f (x) = (1+ x) x ,1,x 0 ，则0 为 f (x) 的第二类间断点。 x = 0（B）令 f (x) = limn+x + x2enx1+ enx, x R ，则 f (x) 为连续函数。 （C）令 D(x) = 1,x为有理数 ，则 D(x) 为偶函数，但不是周期函数。 0， x为无理数（D）设 f (x) 为0,1上单调非减函数且 f (0) = 0， f (1) =1，则f (x) 可以取到0,1上的任何一个值。（6） 下列极限正确的是（ ）。(（A） lim sin pn+n2 +1) = 0 ， n N 。（B） limx0tan x -sin xsin3 x= 1。（C） lim 1+1+1 = 1 ， n N 。n+ 1 2 32 3 4n (n +1) (n + 2) 31（D） lim x(p - arctan x) =。x+222（7） 考虑半径为 a(0 a 0 ；y(1)= 2 。八、(本题满分 10 分) 计算第二型曲面积分(x2 + 2y2 + 2z2 )dydz ，其中 S 为半球面y2 + z2S1- y2 - z2x =被锥面 x =截下部分的内侧。九、(本题满分 10 分) （1）求幂级数nxn 的收敛域与和函数；n=1（2）求级数n=12n +1 3n之和。1十、(本题满分 10 分) （1）证明：n +1 ln(1+ 1) 1 ， n N 。 nn（2）令a = 1+ 1 + 1 - ln n ，证明： a 收敛。n2nn十一、(本题满分 10 分) 设三阶连续可微函数 f (x) 0，其中 x (0,1) 。并且 f (x) = 0 在区间(0,1) 内存在两个相异实根。 证明：存在x (0,1) ，使得 f (x ) = 0 。
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