资源描述
中国科学院 大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（ 乙 ） 考生须知： 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、 选择题 (本题满分 50 分，每小题 5 分。 请从题目所列的选项中选择一个正确项填 充空格。每题的四个备选项中只有一 个 是正确的 ，不选、错选或多选均不得 分 。 请 将你 的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填 写 在试题上无效。 ) （ 1） 设 s in 2 , 0( ) = ,0 xe x xfx ax b x 处处连续，处处可导。则 ,ab取值为 （ ） 。 （ A） 2, 0ab （ B） 1, 0ab （ C） 2, 1ab （ D） 0, 0ab （ 2） 下 列 一元函数积分 公 式 中 ， 错误的是 （ ） 。 （ A） 22 00( s i n )d ( c o s )df x x f x x （ B） ( s i n , c o s ) d ( c o s , s i n ) df x x x f x x x （ C） 2 00( s i n ) d 2 ( s i n ) df x x f x x （ D） 2 00( c o s ) d 2 ( c o s ) df x x f x x （ 3） 1 220 d =(2 ) 1xx （ ） 。 （ A） （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 （ 4） 下列级数 不收敛 的 是 （ ）。 （ A） 11 21 543 nn nn （ B） 1 2 2 1n n n n （ C） 1 231 n nn （ D） 1 cos (| | 1) n n q nx q 科目名称：高等数学（ 乙 ） 第 1 页 共 4 页 （ 5） 下列说法 完全 正确的是（ ）。 （ A） 令 1(1 ) , 0() 1 , 0 xxxfx x ，则 0 为 ()fx的第二类间断点。 （ B） 令 2( ) lim ,1 nx nxn x x ef x x Re ，则 ()fx为连续函数 。 （ C） 令 1, () 0 xDx x 为 有 理 数， 为 无 理 数 ，则 ()Dx 为偶函数，但不是周期函数。 （ D） 设 ()fx为 0,1上单调非减函数 且 (0) 0f ， (1) 1f ，则 ()fx可以取到 0,1上的 任何一个 值。 （ 6） 下列极限正确的是（ ）。 （ A） 2lim s in 1 0 n n ， nN 。 （ B） 30 ta n sinlim 1sinx xxx 。 （ C） 1 1 1 1l im 1 2 3 2 3 4 ( 1 ) ( 2 ) 3n n n n ， nN 。 （ D） 1lim ( a rc ta n )22 x xx 。 （ 7） 考虑 半径 为 (0 1)aa 的圆 2 2 2x y a，过点 (0,1)P 做 该圆的两条不同 切线， 切点分别为 A 和 B ，若 PAB 为 等边三角形，则该圆的半径为 （ ） 。 （ A） 33 （ B） 22 (C) 12 (D) 13 （ 8） 2 2211 00 x xydx e dy （ ） 。 （ A） ( 1)4 e （ B） ( 1)2 e （ C） 1e （ D） （ 9） 2 2 2 2ln L x y dx y x x y x y dy （ ），其中 L 表示矩形区域 ABCD 边界 沿 逆时针方向 ,A(3,2),B(6,2),C(6,4),D(3,4)。 （ A） 50 （ B） 52 （ C） 28 （ D） 56 科目 名称：高 等数学（ 乙 ） 第 2 页 共 4 页 （ 10） 设函数 12( ), ( )y x y x 为二阶 常系数 线性齐 次微分方程 ( ) ( ) ( ) 0y x py x qy x 的两 个特解 ， 则 12( ), ( )y x y x 的 线性 组合 能构成该方程通解 的 充分条件是 （ ） 。 （ A） 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0y x y x y x y x。 （ B） 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0y x y x y x y x。 （ C） 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0y x y x y x y x。 （ D） 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0y x y x y x y x。 二 、 (本题满分 10 分 ) 求过点 :(0,1, 1)P ， 与平面 : 3 5 0 x y z 平行 且 与 直线 3 2 2 3 0: 2 1 0 x y zl x y z 共面的直线 方程。 三 、 (本题满分 10 分 ) 设方 程 0 xyyx，求导 函 数 ()yx。 四 、 (本题满分 10 分 ) 求如下心形曲线 2 s i n s i n 2 , 2 c o s c o s 2 ( 0 2 )x t t y t t t 的 长度。 科目名称：高等数学（ 乙 ） 第 3 页 共 4 页 五 、 (本题满分 10 分 ) 令 曲线 C 为 圆柱面 2210 xz 与平面 10 x y z 的交线 , 求 C 到原点的最大 和最小距离。 六 、 (本题满分 10 分 ) （ 1） 证明 ： 21 1 1a r c t a n a r c t a n a r c t a n2 2 1 2 1n n n 。 （ 2） 求 级数 21 1arctan 2n n 的和 。 七 、 (本题满分 10 分 ) 求下列 常微分方程 初值问 题 的解： ( ) + , 0 2yxy x xxy ； (1) 2 y 。 八 、 (本题满分 10 分 ) 计算第二型 曲面积分 2 2 2( 2 2 ) S x y z dydz ，其中 S 为半球面 221x y z 被锥面 22x y z截下部 分的内侧。 九 、 (本题满分 10 分 ) （ 1） 求幂级数 1 n n nx 的收敛域与和函 数 ； （ 2） 求级数 1 213n n n 之和 。 十 、 (本题满分 10 分 ) （ 1） 证明： 1 1 1ln(1 )1n n n ， nN 。 （ 2） 令 111 ln2 nann ，证明： na 收敛。 十 一 、 (本题满分 10 分 ) 设 三 阶连续可微函数 ( ) 0fx ，其中 (0,1)x 。并且 ( ) = 0fx 在 区间 (0,1) 内存在两个相异实根。 证明： 存在 (0,1) ，使得 ( ) 0f 。 科目名称：高等数学（ 乙 ） 第 4 页 共 4 页
展开阅读全文