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中国科学院大学2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：量子力学考生须知：1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。一、（共 30 分）考虑一维束缚态。(1) 证明 y(x,t) y(x,t) 不随时间变化，此处波函数y不必是定态。(2) 证明对于定态，动量的期望值为零。(3) 证明如果粒子在t = 0 时刻处于定态，则在以后时刻永远保持定态。科目名称：量子力学第 2页，共 2页二、（共 30 分）设波函数y( x)= (1/ 和动量算符，其中b为实常数。2p)eip( x+b)h ，而 x ， p 分别为 x 方向的坐标(1) 说明y( x) 是否为 p 的归一化本征态。(2) 证明x eiap / h =x +a ，及eiap / h x= x -a ，其中a为实常数。(3) 化简算符eiap / h xe-iap / h 。(4) 化简算符eiap / h x2e-iap / h 。三 、（ 共 30 分） 一个无自旋粒子的波函数为y=K (x + iy + 2z)e-arx2 + y 2 + z214p34pr =,其中 K ,a为实常数。（球谐函数：Y 0 =，Y 0 =， 此处cosq,1Y 1 = m0138psinqe if。）(1) 求粒子的总角动量。(2) 求角动量 z 分量即 Lz 的期望值，及测得 Lz = h 的概率。(3) 求发现粒子在(q,j) 方向上dW 立体角内的概率。四、（共 30 分）c= 1 1- 2i (1) 一个电子在t =0 的时刻处于自旋态3 2 。在t 0 时刻，在外界加一个=rrr磁场 BB0 (sinqex + cosqez ) ，此时电子的哈密顿量为 H = -2mBS B ，其中 S 为自旋算符， mB 为玻尔磁子，求此粒子在任意t 时刻的波函数。(2) 考虑两个自旋为 12的粒子处于磁场中，此时系统的哈密顿量为H = as+ bs+ c sv sr ，abc1zsr2 z0 12其 中 ， 0 为常数，是泡利算符，前两项为粒子处于磁场中的势能，最后一项为两粒子自旋-自旋相互作用能。求系统的能级。五、（共 30 分）考虑谐振子问题。p 212(1) 一维谐振子的哈密顿量为 H =+2m小值与该谐振子的基态能量一致。kx2，证明由不确定性关系得到的能量最(2) 若(1)中的基态波函数是高斯型e-bx2 ，用变分法求b。(3) 利用升、降算符写出(1)中的第一激发态的波函数（不必归一）。(4) 对于三维各向同性谐振子， 第一激发态是三重简并的。现有一微扰 010 000 H = bxy = hb 100 ，写出该微扰引起的第一激发态的能级分裂。2mw
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