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历年考研数学 真题解析及复习思路 （数学二） （ ） 考研数学命题研究组编 世纪高教编辑部 微信扫码 免费学习 考研数学一二三历年真题精讲 微信 扫码学习 考研数学必考知识点串讲 QQ 群 ： 721679711 考研数学资料 &答疑全程服务 关注微信公众号 世纪高教在线 更多考研资料与服务 免费提供 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 【编者注】年到年的数学试卷为现在的数学二 （试卷 ） 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设 （ ），其中为非零常数，则 ， （）曲线 在横坐标为的点处的切线方程是；法线方程是 （）积分中值定理的条件是，结论是 （） ( ) （）（） ， （） 二、（本题满分分） 求极限 ( ) 三、（本题满分分） 设 （ ）， （ ），求， 四、（本题满分分） 计算定积分 五、（本题满分分） 设是由曲线 与三条直线 ， ， 围成的曲边梯形，求绕轴旋转一 周所生成的旋转体的体积 六、证明题（本题满分分） （）若（）在（，）内可导，且导数（）恒大于零，则（）在（，）内单调增加 （）若（）在 处二阶导数存在，且（） ，（） ，则（）为（）的一个极大值 七、（本题满分分） 计算不定积分 ，其中，是不全为的非负常数 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 八、（本题满分分） （）求微分方程 满足条件 的特解 （）求微分方程 的通解 九、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （） （） （ ）是（ ） （）有界函数 （）单调函数 （）周期函数 （）偶函数 （）函数（） （ ） （）当 时为无穷大 （）在（ ， ）内有界 （）在（ ， ）内无界 （）当 时有有限极限 （）设（）在 处可导，则 （ ） （ ） 等于（ ） （）（） （）（） （） （）（） （）设 （），其中（）连续， ， ，则的值（ ） （）依赖于， （）依赖于， （）依赖于，不依赖于 （）依赖于，不依赖于 十、（本题满分分） 在第一象限内求曲线 上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形 面积为最小，并求此最小面积 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设（） ， ， （ ）， 在（ ， ）内连续，则 （）设（） ( ) ，则（） （）设（）连续，且 （） ，则（） （） （） 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （） （） 的图形在点（，）处的切线与轴交点的坐标是（ ） （） ，( ) （）（ ，） （） ，( ) （）（，） （）若（）与（）在（ ， ）上皆可导，且（） （），则必有（ ） （）（ ） （ ） （）（） （） （） （） （） （） （） （） （）若函数 （），有（） ，则当 时，该函数在 处的微分是（ ） （）与等价的无穷小 （）与同阶的无穷小 （）比低阶的无穷小 （）比高阶的无穷小 （）由曲线 （ ）与轴围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为（ ） （） （） （） （） （）设函数 （）是微分方程 的一个解，且（） ， （） ，则（）在 点处（ ） （）有极大值 （）有极小值 （）某邻域内单调增加 （）某邻域内单调减少 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 三、（本题共小题，每小题分，满分分） （）已知（） ， （） 且（） ，求（）并写出它的定义域 （）已知 ，求 ， （）求微分方程 （ ）的通解（一般解） 四、（本题满分分） 作函数 的图形，并填写下表 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极值 凹（ ）区间 凸（ ）区间 拐点 渐近线 五、（本题满分分） 将长为的一段铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正 方形与圆形的面积之和为最小？ 六、（本题满分分） 设函数 （）满足微分方程 ，且其图形在点（，）处的切线与曲线 在该点处的切线重合，求函数 （） 七、（本题满分分） 设 ，求 （ ） 八、（本题满分分） 设（）在（ ， ）上有连续导数，且 （） （）求 （ ） （ ）； （）证明： （） （） （ ） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （） （） （）曲线 （ ）（ ）在点（，）处的切线方程是 （）设（） （ ）（ ） （ ），则（） （）设（）是连续函数，且（） （），则（） （）设（） ， ， ， 在 处连续，则常数与应满足的关系是 （）设 ，则 二、（本题共小题，每小题分，满分分） （）已知 ，求 （）求 （）求 （ ） （）已知 （ ）， ，求 ， （）已知（） ， （） 及 （） ，求 （） 三、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）当 时，曲线 （ ） （）有且仅有水平渐近线 （）有且仅有铅直渐近线 （）既有水平渐近线，也有铅直渐近线 （）既无水平渐近线，也无铅直渐近线 （）若 ，则方程 （ ） （）无实根 （）有唯一实根 （）有三个不同实根 （）有五个不同实根 （）曲线 ( )与轴所围成的图形，绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ ） （） （） （） （） 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 （）设两函数（）和（）都在 处取得极大值，则函数（） （）（）在 处（ ） （）必取极大值 （）必取极小值 （）不可能取极值 （）是否取极值不能确定 （）微分方程 的一个特解应具有形式（式中，为常数）（ ） （） （） （） （） （）设（）在点 的某个邻域内有定义，则（）在 处可导的一个充分条件是（ ） （） （ ） （）存在 （） （ ） （ ） 存在 （） （ ） （ ） 存在 （） （） （ ） 存在 四、（本题满分分） 求微分方程 （ ） （ ）满足（） 的特解 五、（本题满分分） 设（） （ ）（），其中为连续函数，求（） 六、（本题满分分） 证明方程 在区间（， ）内有且仅有两个不同实根 七、（本题满分分） 对函数 填写下表 单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹区间 凸区间 拐点 渐近线 八、（本题满分分） 设抛物线 过原点，当 时， 又已知该抛物线与轴及直线 所 围图形的面积为 试确定，的值，使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （）曲线 ， 上对应于 处的法线方程是 （）设 ，则 （） （）下列两个积分的大小关系是： （）设函数（） ， ， ，则函数 （） 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）已知 ( ) ，其中，是常数，则（ ） （） ， （） ， （） ， （） ， （）设函数（）在（ ， ）上连续，则 （） 等于（ ） （）（） （）（） （）（） （）（） （）已知函数（）具有任意阶导数，且（） （），则当为大于的正整数时， （）的阶 导数 （）（）是（ ） （）！（） （）（） （）（） （）！（） （）设（）是连续函数，且（） （），则（）等于（ ） （） （） （） （） （） （） （）（） （） （）（） （） （）设（） （） ， ， （）， ， 其中（）在 处可导， （） ， （） ，则 是（）的（ ） （）连续点 （）第一类间断点 （）第二类间断点 （）连续点或间断点不能由此确定 三、（本题共小题，每小题分，满分分） （）已知 ( ) ，求常数 （）求由方程 （ ）（ ）所确定的函数 （）的微分 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 （）求曲线 （ ）的拐点 （）计算 （ ） （）求微分方程 （ ） 满足条件 的特解 四、（本题满分分） 在椭圆 的第一象限部分上求一点，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形面积为 最小（其中 ， ） 五、（本题满分分） 证明：当 时，有不等式 六、（本题满分分） 设（） ，其中 ，求（） ( ) 七、（本题满分分） 过点（，）作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及轴围成一平面图形求此平面 图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积 八、（本题满分分） 求微分方程 的通解，其中为实数 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设 （ ），则 （）曲线 的凸区间是 （） （）质点以速度（）米秒作直线运动，则从时刻 秒到 秒内质点所经过的 路程等于米 （） 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）若曲线 和 在点（， ）处相切，其中，是常数，则（ ） （） ， （） ， （） ， （） ， （）设函数（） ， ， ， ， 记（） （）， ，则（ ） （）（） ， ， ， （）（） ， ， ， （）（） ， ， ， （）（） ， ， ， （）设函数（）在（ ， ）内有定义， 是函数（）的极大值点，则（ ） （）必是（）的驻点 （） 必是 （ ）的极小值点 （） 必是 （）的极小值点 （）对一切都有（） （） （）曲线 （ ） （）没有渐近线 （）仅有水平渐近线 （）仅有铅直渐近线 （）既有水平渐近线又有铅直渐近线 （）如图，轴上有一线密度为常数，长度为的细杆，若质量为的质点到杆右端的距离为，已 知引力系数为，则质点和细杆之间引力的大小为（ ） 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 （） （ ） （） （ ） （） （ ） （） （ ） 三、（本题共小题，每小题分，满分分） （）设 ， ，求 （）计算 （ ） （）求 （ ） （）求 （）求微分方程 满足（） 的特解 四、（本题满分分） 利用导数证明：当 时，（ ） 五、（本题满分分） 求微分方程 的通解 六、（本题满分分） 曲线 （ ）（ ）和轴围成一平面图形，求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体 积 七、（本题满分分） 如图，和分别是曲线 和 上的点，和均垂直 轴，且 ， ，求点和的横坐标，使梯形 的面积最大 八、（本题满分分） 设函数（）在（ ， ）上满足（） （ ） ，且（） ， ，）计算 （） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设 （） ， （ ）， 其中可导，且（） ，则 （）函数 在， 上的最大值为 （） （） （ ） （）由曲线 与直线 所围成的图形的面积 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）当 时， 是的（ ） （）低阶无穷小 （）高阶无穷小 （）等价无穷小 （）同阶但非等价的无穷小 （）设（） ， ， ， ， 则（ ） （）（ ） ， ， （ ）， （）（ ） （ ）， ， ， （）（ ） ， ， ， （）（ ） ， ， ， （）当 时，函数 的极限（ ） （）等于 （）等于 （）为 （）不存在但不为 （）设（）连续，（） （），则（）等于（ ） （）（） （）（） （）（） （）（） （）若（）的导函数是 ，则（）有一个原函数为（ ） （） （） （） （） 三、（本题共小题，每小题分，满分分） （）求 ( ) （）设函数 （）由方程 所确定，求 的值 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 （）求 （）求 （）求微分方程（ ） 的通解 四、（本题满分分） 设（） ， ， ， ， 求 （ ） 五、（本题满分分） 求微分方程 的通解 六、（本题满分分） 计算曲线 （ ）上相应于 的一段弧的长度 七、（本题满分分） 求曲线 的一条切线，使该曲线与切线及直线 ， 所围成的平面图形面积最小 八、（本题满分分） 已知（） ， （） ，证明对任何 ， ，有（ ） （） （） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （） （）函数 （）由方程（ ） 所确定，则 （）设（） （ ），则函数（）的单调减少区间是 （） （）已知曲线 （）过点(， )，且其上任一点（，）处的切线斜率为（ ），则（） 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）当 时，变量 是（ ） （）无穷小 （）无穷大 （）有界的，但不是无穷小 （）无界的，但不是无穷大 （）设（） ， ， ， ， 则在点 处函数（）（ ） （）不连续 （）连续，但不可导 （）可导，但导数不连续 （）可导，且导数连续 （）已知（） ， ， ， ， 设（） （）（ ），则（）为（ ） （） ， ， ， （） ， ， ， （） ， ， ， （） ， ， ， （）设常数 ，函数（） 在（， ）内的零点个数为（ ） （） （） （） （） （）若（） （ ），在（， ）内（） ， （） ，则（）在（ ，）内（ ） （）（） ， （） （）（） ， （） （）（） ， （） （）（） ， （） 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 三、（本题共小题，每小题分，满分分） （）设 （），其中具有二阶导数，求 （）求 （ ） （）求 （）求 （ ） （）求微分方程（ ） （ ） 满足初值条件（） 的特解 四、（本题满分分） 设二阶常系数线性微分方程 的一个特解为 （ ），试确定常数 ，并求该方程的通解 五、（本题满分分） 设平面图形由 与 所确定，求图形绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 六、（本题满分分） 作半径为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积最小，并求出该最小值 七、（本题满分分） 设 ，常数 证明：（ ） 八、（本题满分分） 设（）在，上连续，且（） ，证明： （） ，其中 （） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （）若（） ， ， ， 在（ ， ）上连续，则 （）设函数 （）由参数方程 （ ）， 所确定，则 （） （）( ) （） （）微分方程 （ ） 的通解为 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设 （ ） （ ） ，则（ ） （） ， （） ， （） ， （） ， （）设（） ， ， ， ， 则（）在点 处的（ ） （）左、右导数都存在 （）左导数存在，但右导数不存在 （）左导数不存在，但右导数存在 （）左、右导数都不存在 （）设 （）是满足微分方程 的解，且（） ，则（）在（ ） （）的某个邻域内单调增加 （）的某个邻域内单调减少 （）处取得极小值 （）处取得极大值 （）曲线 （ ）（ ）的渐近线有（ ） （）条 （）条 （）条 （）条 （）设 ， （ ）， （ ），则有（ ） （） （） （） （） 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 三、（本题共小题，每小题分，满分分） （）设 （ ），其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于，求 （）计算 （ ） （）计算 ( ) （）计算 （）如图，设曲线方程为 ，梯形的面积为，曲边梯形 的面积为，点的坐标为（，）， 证明： 四、（本题满分分） 设当 时，方程 有且仅有一个解，求的取值范围 五、（本题满分分） 设 ， （）求函数的增减区间及极值； （）求函数图形的凹凸区间及拐点； （）求其渐近线； （）作出其图形 六、（本题满分分） 求微分方程 的通解，其中常数 七、（本题满分分） 设（）在，上连续且递减，证明：当 时， （） （） 八、（本题满分分） 求曲线 与轴围成的封闭图形绕直线 旋转所得的旋转体体积 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设 （） ，则 （）微分方程 的通解为 （）曲线 ， 在 处的切线方程为 （） ( ) （）曲线 的渐近线方程为 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设（）和（）在（ ， ）上有定义， （）为连续函数，且（） ，（）有间断点，则 （ ） （）（）必有间断点 （）（）必有间断点 （）（）必有间断点 （） （）（）必有间断点 （）曲线 （ ）（ ）与轴所围图形的面积可表示为（ ） （） （ ）（ ） （） （ ）（ ） （ ）（ ） （） （ ）（ ） （ ）（ ） （） （ ）（ ） （）设（）在（ ， ）内可导，且对任意，当 时，都有（） （），则（ ） （）对任意， （） （）对任意， （ ） （）函数（ ）单调增加 （）函数 （ ）单调增加 （）设函数（）在，上（） ，则（）， （）， （） （）或（） （）的大小顺序是 （ ） （）（） （） （） （） （）（） （） （） （） （）（） （） （） （） （）（） （） （） （） （）设（）可导，（） （）（ ）若（）在 处可导，则必有（ ） （）（） （）（） （）（） （） （）（） （） 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 三、（本题共小题，每小题分，满分分） （）求 （ ） （）设函数 （）由方程 （） 确定，其中具有二阶导数，且 ，求 （）设（ ） ，且 （） ，求（） （）设（） ， ， ， ， 试讨论（）在 处的连续性 （）求摆线 ， 一拱（ ）的弧长 （）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 已知阻力与速度成正比（比例常数为）， 问为多少时此质点的速度为 ？并求到此时刻该质点所经过的路程 四、（本题满分分） 求函数（） （ ）的最大值和最小值 五、（本题满分分） 设 是微分方程 （） 的一个解，求此微分方程满足条件 的特解 六、（本题满分分） 如图，设曲线的方程为 （），且 又，分别为该曲线 在点（，）处的切线和法线已知线段的长度为 （ ） （其中 （）， （），试推导出点（，）的坐 标表达式 七、（本题满分分） 设（） ，计算 （） 八、（本题满分分） 设 （） ，且（） ，证明（） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设 （ ） ，则 （） （ ） （）微分方程 的通解为 （） ( ) ( ) （）由曲线 ， 及 所围图形的面积 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设当 时， （ ）是比高阶的无穷小，则（ ） （） ， （） ， （） ， （） ， （）设函数（）在区间（ ，）内有定义，若当 （ ，）时，恒有（） ，则 必是 （）的（ ） （）间断点 （）连续而不可导的点 （）可导的点，且（） （）可导的点，且（） （）设（）处处可导，则（ ） （）当 （） ，必有 （） （）当 （） ，必有 （） （）当 （） ，必有 （） （）当 （） ，必有 （） （）在区间（ ， ）内，方程 （ ） （）无实根 （）有且仅有一个实根 （）有且仅有两个实根 （）有无穷多个实根 （）设（），（）在区间，上连续，且（） （） （为常数），由曲线 （）， （）， 及 所围平面图形绕直线 旋转而成的旋转体体积为（ ） （） （） （）（） （） （） （） （）（） （） （） （） （）（） （） （） （） （）（） （） 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 三、（本题共小题，每小题分，满分分） （）计算 （）求 （）设 （）， （）， 其中（）具有二阶导数，且（） ，求 （）求函数（） 在点 处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式 （）求微分方程 的通解 （）设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为，用过此柱体底 面的短轴且与底面成角 ( )的平面截此柱体，得一楔形体 （如图），求此楔形体的体积 四、（本题满分分） 计算不定积分 （ ） 五、（本题满分分） 设函数（） ， ， ， ， ， （）写出（）的反函数（）的表达式； （）（）是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点 六、（本题满分分） 设函数 （）由方程 所确定，试求 （）的驻点，并判别它是否为 极值点 七、（本题满分分） 设（）在区间，上具有二阶导数，且（） （） ， （）（） 证明：存在 （，） 和 （，），使（） 及（） 八、（本题满分分） 设（）为连续函数， （）求初值问题 （）， 的解（），其中是正常数； （）若（） （为常数），证明：当 时，有（） （ ） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （）已知函数（） （ ） ， ， ， 在 处连续，则 （）设 ，则 （） （ ） （） （）已知向量组 （， ，）， （，）， （， ， ）的秩为，则 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设 时， 与是同阶无穷小，则为（ ） （） （） （） （） （）设在闭区间，上（） ， （） ， （） 记 （）， （）（ ）， （） （）（ ），则（ ） （） （） （） （） （）已知函数 （）对一切满足（） （） ，若（） （ ），则（ ） （）（）是（）的极大值 （）（）是（）的极小值 （）（， （）是曲线 （）的拐点 （）（）不是（）的极值，（， （）也不是曲线 （）的拐点 （）设（） ，则（）（ ） （）为正常数 （）为负常数 （）恒为零 （）不为常数 （）设函数（） ， ， ， ， （） ， ， ， ，则（） （ ） （） ， ， ， （） ， ， ， （） ， ， ， （） ， ， ， 三、（本题共小题，每小题分，满分分） （）求极限 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 （）设函数 （）由 ， 所确定，求 （）计算（ ） （）求微分方程（ ） （ ） 的通解 （）已知 ， ， 是某二阶线性非齐次微分方程的三个 解，求此微分方程 （）已知矩阵 ，且 ，其中是阶单位矩阵，求矩阵 四、（本题满分分） 取何值时，方程组 ， ， 无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出 方程组的通解 五、（本题满分分） 设曲线的极坐标方程为 （），（，）为上任一点，（，）为上一定点若极径， 与曲线所围成的曲边扇形面积值等于上，两点间弧长值的一半，求曲线的方程 六、（本题满分分） 设函数（）在闭区间，上连续，在开区间（，）内大于零，并满足（） （） （为 常数），又曲线 （）与 ， 所围的图形的面积值为，求函数 （），并问为何 值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小 七、（本题满分分） 设函数（）连续，（） （），且 （） （为常数），求（）并讨论（）在 处的连续性 八、（本题满分分） 就的不同取值情况，确定方程 在开区间(， )内根的个数，并证明你的结论 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （） （）曲线 与轴所围成的图形的面积 （）（ ） （）设（）连续，则 （ ） （）曲线 ( )（ ）的渐近线方程为 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设数列与满足 ，则下列断言正确的是（ ） （）若发散，则必发散 （）若无界，则必有界 （）若有界，则必为无穷小 （）若 为无穷小，则必为无穷小 （）函数（） （ ） 的不可导点的个数为（ ） （） （） （） （） （）已知函数 （）在任意点处的增量 ，其中是比（ ）高阶的无 穷小，且（） ，则（） （ ） （） （） （） （） （）设函数（）在 的某个邻域内连续，且（）为其极大值，则存在 ，当 （ ， ） 时，必有（ ） （）（ ）（） （） （）（ ）（） （） （） （） （） （ ） （ ） （） （） （） （ ） （ ） （）设是任一（ ）阶方阵，是其伴随矩阵，又为常数，且 ， ，则必有 （） （ ） （） （） （） （） 三、（本题满分分） 求函数（） （ ） （ ）在区间（，）内的间断点，并判断其类型 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 四、（本题满分分） 确定常数，的值，使 （ ） （ ） 五、（本题满分分） 利用代换 将方程 化简，并求出原方程的通解 六、（本题满分分） 计算积分 七、（本题满分分） 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度（从海平面算起）与下沉速 度之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到 阻力和浮力的作用设仪器的质量为，体积为，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正 比，比例系数为（ ）试建立与所满足的微分方程，并求出函数关系式 （） 八、（本题满分分） 设 （）是区间，上的任一非负连续函数 （）试证存在 （，），使得在区间，上以（）为高的矩形面积，等于在区间，上以 （）为曲边的曲边梯形面积； （）又设（）在区间（，）内可导，且（） （） ，证明（）中的是惟一的 九、（本题满分分） 设有曲线 ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周 所得到的旋转体的表面积 十、（本题满分分） 设 （）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（，）处的曲率为 ，且此曲线上点（，） 处的切线方程为 ，求该曲线的方程，并求函数 （）的极值 十一、（本题满分分） 设 （，），证明： （）（ ）（ ） ； 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 （） （ ） 十二、（本题满分分） 设（ ） ，其中是阶单位矩阵，是阶矩阵的转置矩阵， ， 求 十三、（本题满分分） 已知 （，）， （，）， （， ，）， （，），问： （），取何值时， 不能由，线性表示？ （），取何值时， 可由，线性表示？并写出此表示式 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （）曲线 在点（，）处的法线方程为 （）设函数 （）由方程（ ） 确定，则 （） （）函数 在区间 ， 上的平均值为 （）微分方程 的通解为 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设（） ， ， （）， ， 其中（）是有界函数，则（）在 处（ ） （）极限不存在 （）极限存在，但不连续 （）连续，但不可导 （）可导 （）设（） ，（） （ ） ，则当 时，（）是（）的（ ） （）高阶无穷小 （）低阶无穷小 （）同阶但不等价的无穷小 （）等价无穷小 （）设（）是连续函数，（）是（）的原函数，则（ ） （）当（）是奇函数时，（）必是偶函数 （）当（）是偶函数时，（）必是奇函数 （）当（）是周期函数时，（）必是周期函数 （）当（）是单调增函数时，（）必是单调增函数 （） “对任意给定的 （，），总存在正整数，当 时，恒有 ”是数列收 敛于的（ ） （）充分条件但非必要条件 （）必要条件但非充分条件 （）充分必要条件 （）既非充分条件又非必要条件 （）记行列式 为（），则方程（） 的根的个数为（ ） （） （） （） （） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 三、（本题满分分） 求 （ ） 四、（本题满分分） 计算 五、（本题满分分） 求初值问题 （ ） （ ）， 的解 六、（本题满分分） 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 ，抓斗自重，缆绳每米重，抓斗抓起的污泥重，提升速度为 在提升过程中，污泥以 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的 抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？ （说明： ；，分别表示米，牛顿，秒，焦耳 抓斗的高度及 位于井口上方的缆绳长度忽略不计 ） 七、（本题满分分） 已知函数 （ ），求 （）函数的增减区间及极值； （）函数图形的凹凸区间及拐点； （）函数图形的渐近线 八、（本题满分分） 设函数（）在闭区间 ，上具有三阶连续导数，且（ ） ， （） ， （） ，证明： 在开区间（ ，）内至少存在一点，使 （） 九、（本题满分分） 设函数（）（ ）二阶可导，且（） ，（） 过曲线 （）上任意一点（，）作该 曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间，上以 （）为曲边的曲边梯形面积记为，并设 恒为，求此曲线 （）的方程 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 十、（本题满分分） 设（）是区间， ）上单调减少且非负的连续函数， （） （）（ ， ）， 证明数列的极限存在 十一、（本题满分分） 设矩阵 ，矩阵满足 ，其中是的伴随矩阵，求矩阵 十二、（本题满分分） 设向量组 （，）， （ ， ，）， （， ， ）， （ ， ，） （）为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 （，）用，线性表示； （）为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （） （ ） （）设函数 （）由方程 所确定，则 （） （ ） （）曲线 （ ）的斜渐近线方程为 （）设 ， 为阶单位矩阵，且 （ ） （ ），则（ ） 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设函数（） 在（ ， ）内连续，且 （） ，则常数，满足（ ） （） ， （） ， （） ， （） ， （）设函数（）满足关系式（） （） ，且（） ，则（ ） （） （）是（）的极大值 （） （）是（）的极小值 （）点（， （）是曲线 （）的拐点 （） （）不是（）的极值，点（， （）也不是曲线 （）的拐点 （）设函数（），（）是大于零的可导函数，且（）（） （）（） ，则当 时，有（ ） （）（）（） （）（） （）（）（） （）（） （）（）（） （）（） （）（）（） （）（） （）若 （） ，则 （） 为（ ） （） （） （） （） （）具有特解 ， ， 的阶常系数齐次线性微分方程是（ ） （） （） （） （） 三、（本题满分分） 设（ ） （ ） ，计算（） 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 四、（本题满分分） 设平面上有正方形 （，） ， 及直线： （ ）若（）表 示正方形位于直线左下方部分的面积，试求 （）（ ） 五、（本题满分分） 求函数（） （ ）在 处的阶导数 （）（）（ ） 六、（本题满分分） 设函数（） ， （）当为正整数，且 （ ）时，证明： （） （ ）； （）求 （） 七、（本题满分分） 某湖泊的水量为，每年排入湖泊内含污染物的污水量为 ，流入湖泊内不含的水量为 ，流出 湖泊的水量为 已知年底湖中的含量为，超过国家规定指标为了治理污染，从 年初起，限定排入湖泊中含污水的浓度不超过 问至多需经过多少年，湖泊中污染物的含量 才可降至以内？（注：设湖水中的浓度是均匀的） 八、（本题满分分） 设函数（）在，上连续，且 （） ， （） 试证明：在（，）内至少存在两 个不同的点，使（） （） 九、（本题满分分） 已知（）是周期为的连续函数，它在 的某个邻域内满足关系式 （ ） （ ） （）， 其中（）是当 时比高阶的无穷小，且（）在 处可导，求曲线 （）在点（， （） 处的切线方程 十、（本题满分分） 设曲线 （ ， ）与 交于点，过坐标原点和点的直线与曲线 围成一平面图形问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 十一、（本题满分分） 函数（）在， ）上可导， （） ，且满足等式 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 （） （） （） （）求导数（）； （）证明：当 时，不等式 （） 成立 十二、（本题满分分） 设 ， ， ， ， ，其中是的转置，求解方程 十三、（本题满分分） 已知向量组 ， ， 与向量组 ， ， 具有 相同的秩，且可由，线性表示，求，的值 年真题 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 年全国硕士研究生招生考试试题 一、填空题（本题共小题，每小题分，满分分） （） （）设函数 （）由方程 （） 所确定，则曲线 （）在点（，）处的法线 方程为 （） （ ） （）过点( ， )且满足关系式 的曲线方程为 （）设方程组 有无穷多解，则 二、选择题（本题共小题，每小题分，满分分） （）设（） ， ， ，则 （）等于（ ） （） （） （） ， ， （） ， ， （）设当 时，（ ）（ ）是比 高阶的无穷小， 是比 高阶的 无穷小，则正整数等于（ ） （） （） （） （） （）曲线 （ ）（ ）的拐点个数为（ ） （） （） （） （） （）已知函数（）在区间（ ， ）内具有二阶导数， （）严格单调减少，且（） （） ，则（ ） （）在（ ，）和（， ）内均有（） （）在（ ，）和（， ）内均有（） （）在（ ，）内， （） ，在（， ）内， （） （）在（ ，）内， （） ，在（， ）内， （） （）已知函数 （）在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其 导函数 （）的图形为（ ） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 微信公众号-世纪高教在线-回复关键词“数学领课”-免费学习数学一二三历年真题精讲课程 世纪高教在线 三、（本题满分分） 求 （ ） 四、（本题满分分） 求极限 ( ) ，记此极限为（），求函数（）的间断点并指出其类型 五、（本题满分分） 设 （）是抛物线 上任一点（，）（ ）处的曲率半径， （）是该抛物线上介 于点（，）与之间的弧长，计算 ( ) 的值 （在直角坐标系下
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