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2011 年考研数学试题（数学二）一、选择题1.已知当 时，函数0x是 等 价 无 穷 小 ， 则与 kcxxf3sin)(A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42. 320)(),)()( limxffff x则处 可 导 ， 且在已 知A B C D002ff0f3.函数 的驻点个数为)3(2)1(ln)xxA0 B1 C2 D34.微分方程 的 特 解 形 式 为)0(2xeyA B)(xeaaC Dbx)(2xxbe5设函数 具有二阶连续导数，且 ，则函数 在点)(f 0)(,(ff )(lnyfxfz（0，0）处取得极小值的一个充分条件A B 0)(,1)(ff 0)(,1)(ffC D6.设 的 大 小 关 系 是、则 KJI444 000 cosln,cotln,sinl xdKxdJxdIA IJK B IKJ C JIK D KJI7.设 A为 3阶矩阵，将 A的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B的第二行与第一行得单位矩阵。记 则 A=,01,0121 PPA B C D21211128设 是 4 阶矩阵， 是 A的伴随矩阵，若 是方程组),(31* T)0,1(的一个基础解系，则 的基础解系可为0x0*xA B C D31,21,321,432,二、填空题9. xx10)2(lim10.微分方程 yyxey的 解满 足 条 件 0)(cos11.曲线 的弧长 s=_)40(tan0xd12.设函数 ，则,),xf dxf)(13.设平面区域 D由 y=x,圆 及 y轴所组成，则二重积分22Dxyda_14.二次型 ，则 f的正惯性指数为3212321321),( xxxf _三、解答题15.已知函数 ，设 ，试求 的取值范围。xdtF02)1ln()( 0)(lim)(li0xFxx 16.设函数 y=y(x)有参数方程 ，求 y=y(x)的数值和曲线 y=y(x)的凹凸区间31tty及拐点。17.设 ，其中函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1处)(,xygfz取得极值 g(1)=1,求 1,2yxz18.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l:y=y(x)与直线 y=x相切于原点，记 是曲线 l在点（x,y)外切线的倾角 ，求 y(x)的表达式。dx19.证明：1）对任意正整数 n，都有 n1)l(12）设 ,证明 收敛。2(l21an a20.一容器的内侧是由图中曲线绕 y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。)(),(22 xyx（1）求容器的容积。（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为 ；水的密度为 ）2/sg3/10mkg21.已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数，且 f(1,y)=0,f(x,1)=0, ，Dadxyf),(其中 ，计算二重积分 。10,),(yxyDxyI,22.X 0 1P 1/3 2/3Y -1 0 1P 1/3 1/3 1/31)(2X求：（1） （X，Y）的分布；（2）Z=XY 的分布；（3） XY23.A为三阶实矩阵， ，且2)(AR10（1）求 A的特征值与特征向量；（2）求 A参考答案选择题：CBCC ABDD填空题：9. 10. 11. 12. 13 14. 2xeysin)12l(127解答题：15.解： 31 3,120lim)1ln(i)1ln(im)(li 0,)(li)l(i)l(i)li0,(li, 12020020 221202 a aaxaxxdtxF xxtaxFxax aaxaxxx于 是 所 以得 得，当 所 以 结 论 不 正 确因 为当16.解：sss17.解： )1,(),()1,( )(,)(,)(,)(,22 1221fffyxz xygfxygxfgfyxxzx 18.解： .2,2,0)(, ,21,1ln,1ln ),(, ,sec,tan 212 2)1(0, 22 xxxx xyy eyCoy Cdep epCxdxpyydx 故所 以因 为平 方 解 得 ： 故带 入 初 始 条 件 得 变 量 分 离 得于 是 有则令于 是 有 即求 导 得 ：两 边 对 19.解：。单 调 递 减 有 界 ， 故 收 敛 单 调 递 减即其 中 即 应 用 中 值 定 理 ，在nn nnnannaana nnn nxf 01l)1l(l2/3 l)1l()21(l11,0,l)l()1(2/1)2( 1)l(,0 1l)l(1,0)l()1(1 20.解： .2417 )1()2()()( 12)2 49)()(1(21 1 221 2122 212 g dygydyyy xxgWdydyyV21.解： adxyfdxyfdxyfdyxfxfffI dyxfyxydyxf fI DxxxyD ),(),(),(),(,1 ),()1,()( ),(,),( ),(, 1010100 01010 010 10于 是 ，22.解： 3212321321321 321321321321 321321 04104 10604050),)( 5,)(, ),(051,) 于 是 ， ， 解 得，于 是，线 性 表 示 ，不 能 由又 ar23.解： 0101,01 ,021),Q,01,2,01220100,32)(10,1,A10 3213131 03321 321 21212131 3T12TTx QAAQ rrrrAAxr于 是则 （令单 位 化 得 ：） 解 得即 为 实 矩 阵 ， 所 以 有的 特 征 向 量的 相 应 于为 矩 阵令 故， 向 量 为对 应 的 线 性 无 关 的 特 征的 特 征 值 为，根 据 特 征 值 向 量 的 定 义 则，令
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