2011年考研数学试题及参考答案（数学一）.doc

2011 年考研数学试题（数学一）一、选择题1、 曲线 的拐点是（ ）4321xxy（A） （1，0） （B） （2，0） （C） （3，0） （D） （4，0）【答案】 【 考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。【解析】由 可知 分别是4321xxy 1,23的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的2340x关系可知 ，()0y()()y， ， ，故（3，0）是一拐点。2343,4y2、 设数列 单调减少， ， 无界，则幂级数na0limnankaS12,的收敛域为（ ） （A） (-1，1 （B） -1，1) （C） 0，2) 1nx（D）(0，2【答案】 【 考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项C级数收敛性的一些结论，综合性较强。【解析】 无界，说明幂级数 的收敛半径 ；nkaS12, 1nnax1R单调减少， ，说明级数 收敛，可知幂级数 的收na0limn1n1nnax敛半径 。1R因此，幂级数 的收敛半径 ，收敛区间为 。又由于 时幂级数1nnaxR0,20x收敛， 时幂级数发散。可知收敛域为 。2x0,23、 设 函数 具有二阶连续导数，且 ， ，则函数)(f )(xf0)(f )(lnyfxz在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A） (B) 0)(1)0(ff， 0)(1)0(ff，(C) (D) 【答案】 【 考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充C分条件即可。【解析】由 知 ，)(lnyfxz ()()ln,xyfxzffzy ()xyfz，()lnxffy22()()yfyfyzx所以 ， ，0()0xyfz 0()ln0xyff220 )() ()(yxfff 要使得函数 在点(0,0)处取得极小值，仅需)lnyfxz，()lnff(0(0)f所以有 )10f4、设 ，则 的大小关系是( )444000lnsi,lncot,lncosIxdJxdKxd,IJK（A） （B） （C） （D）KIJII【答案】【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。【解析】 时， ，因此(0,)4x2sincostxxlnsilcoslntxx，故选（B）4 4000lnsilcoltddd 5. 设 为 3 阶矩阵，将 的第二列加到第一列得矩阵 ，再交换 的第二行与第一行得AAB单位矩阵.记 , ,则 ( )10P210PA（A） （B） （C） （D）12122112P【答案】 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论D即可。【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知 ， ，所以1AB2E，故选（D）11122ABPP6、设 是 4 阶矩阵， 为 的伴随矩阵，若 是方程组31,0,1的一个基础解系，则 基础解系可为（ ）0x0xA(A) (B) (C) (D) 31，21， 321， 432，【答案】 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩D阵等方面的知识，有一定的灵活性。【解析】由 的基础解系只有一个知 ，所以 ，又由0xA()3rA()1r知， 都是 的解，且 的极大线生无关组就是E1234,0x0x其基础解系，又，所以 线性相关，故 或12341300, 0A13,124， ，为极大无关组，故应选（D）432，7、设 为两个分布函数，其相应的概率密度 是连续函数，则必12,Fx 12,fx为概率密度的是( )（A） （B）12f 21fF（C） （D）xF21xfx【答案】 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。D【解析】检验概率密度的性质： ；12210fxFfx。可知122fxFfxd 为概率密度，故选（ ） 。1 D8、设随机变量 与 相互独立，且 与 存在，记 ,yxUma，则 （ ）yxV,min)(UV(A) (B) (C) (D) V【答案】 【 考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变B量 进行处理，有一定的灵活性。【解析】由于 max,in,UVXYXY可知 ()()()()EE故应选（B）二、填空题9、曲线 的弧长 = xxtdy04ans【答案】 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。14【解析】 244 2240000tansec1tan1sydxdxdx10、微分方程 满足条件 的解为 ecos )(yy【答案】 sinxy【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。【解析】原方程的通解为 11coscossindxdxxxyeeCedCe 由 ，得 ，故所求解为0)(inxy11、设函数 ，则 xydtF021sin, 20yxF【答案】 4【考点分析】本题考查偏导数的计算。【解析】 。故 。2232cos1sinsin,1yxyxyFyx 204xyF12、设 是柱面方程 与平面 的交线，从 轴正向往 轴负向看去为逆L2xyzxyzz时针方向，则曲线积分 2Lzdd:【答案】 【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。【解析】曲线 的参数方程为 ，其中 从 到 。因此Lcosinxtyztt022 220232sincos(in)(sico(cosi)iLyxzddttttt tddt:13、若二次曲面的方程为 ，经正交变换化为22324xyzaxyz，则 214yza【答案】 【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出 。a【解析】本题等价于将二次型 经正交变换后22(,)32fxyzyzxyz化为了 。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为 。214fyz 1,40该二次型的矩阵为 ，可知 ，因此 。13aA210Aa1a14、设二维随机变量 服从 ，则 (,)XY2(,;)N2()EXY【答案】 32【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。【解析】：由于 ，由二维正态分布的性质可知随机变量 独立。因此0,Y。22()EXY由于 服从 ，可知 ，则, 2(,;)N22 2,EXDE。223()三、解答题15、 （本题满分 10 分）求极限10ln()imxex【答案】12e【考点分析】：本题考查极限的计算，属于 形式的极限。计算时先按 未定式的计算方11法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。【解析】：1 100ln()ln()imlix xe ex 200 011ln(1)ln()ii lim2xxx xee0lim2(1)2x16、 （本题满分 9 分）设 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数(,)zfxygf可导，且在 处取得极值 ，求()gx1x121,zxy【答案】 1,1,2()()ff【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。【解析】： 12(,)(,)(zfxygfxygx2 1, 1, 1 2, 2, 2,)()()()()fffygxygxyxygxxx由于 在 处取得极值 ，可知 。0故 2 1, 1,21 2,12, 2 ,1,()()(,(),() ,(zfgfgfxyfgf17、 （本题满分 10 分）求方程 不同实根的个数，其中 为参数arctn0kxk【答案】 时，方程 只有一个实根k时，方程 有两个实根1rt【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。【解析】：令 ，则 ， ，()arctnfxkx(0)f221()1kxfx（1） 当 时， ， 在 单调递减，故此时 的图像与 轴1ff,()f与只有一个交点，也即方程 只有一个实根arctn0kx（2） 时，在 和 上都有 ，所以 在 和k(,0)(,)()fx()fx,0)是严格的单调递减，又 ，故 的图像在 和 与 轴均无(0,)f,x交点（3） 时， 时， ， 在 上单1k1kxk()0fx()f1,)k调增加，又 知， 在 上只有一个实根，又(0)f()f, (fx或 都有 ， 在 或 都(,k,()fx()f,)k,)单调减，又 ， ，所以(1)0,lim()xfkf(1)0,lim()xfkf在 与 轴无交点，在 上与 轴有一个交点()fx,综上所述： 时，方程 只有一个实根karctn0kx时，方程 有两个实根118、 （本题满分 10 分）证明：（1）对任意正整数 ，都有n11ln()（2）设 ，证明数列 收敛ln(1,2)2na a【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。 （1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。【解析】：（1）令 ，则原不等式可化为 。1xnln(1),0xx先证明 ：l(),0令 。由于 ，可知 在 上单调递1fxx 1()0,fxx()fx,增。又由于 ，因此当 时， 。也即 。()f()fln10再证明 ：ln,01xx令 。由于 ，可知 在()l)g 21()0,()gxx()gx上单调递增。由于 ，因此当 时， 。也即0,0()g。ln(1),xx因此，我们证明了 。再令由于，即可得到所需证明的不等式。ln(1),x（2） ，由不等式 可知：数列 单调1na1ln()na递减。又由不等式 可知：l()n111l()ln().ln()ln(1)l022na。因此数列 是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列 收敛。na na19、 （本题满分 11 分）已知函数 具有二阶连续偏导数，且 ，(,)fxy(1,)0,(1)fyfx，其中 ，计算二重积分(,)Dfxyda,|01,Dy(,)xyIf【答案】： a【考点分析】：本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式，出题形式较为新颖，有一定的难度。【解析】：将二重积分 转化为累次积分可得(,)xyDfd10(,)(,)xy xyDfdf 首先考虑 ，注意这是是把变量 看做常数的，故有10(,)xyf y11 1 1000 0(,)(,(,)(,)(,)(,)xyyyyyyfdfxfxfxdffxd由 易知 。 )x故 。1100(,)(,xyyffd10, ,)(,)xy xy yDfdfdfxd 对该积分交换积分次序可得：1100(,)(,)y ydf f 再考虑积分 ，注意这里是把变量 看做常数的，故有10(,)yfxx11 11000 0(,)(,)(,)(,)(,)yfdfyffydfxyd因此 1100(,)(,)(,)(,)xy yD Dfdxfdxfydfxyda 20、 （本题满分 11 分） 不能由123,5TTT线性表出。求 ；将 由123,5Taa123,线性表出。23【答案】： ；5a32120145321【考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。【解析】： 由于 不能由 表示321,321,可知 ，解得054321 a5a本题等价于求三阶矩阵 使得C123123,C可知 1123230, 45C计算可得54012因此 3212014532121、 （本题满分 11 分） 为三阶实矩阵， ，且A()RA1100（1）求 的特征值与特征向量（2）求