2021年数二卷一题目+答案.pdf

2021年研究生入学考试数学二真题模考卷(一) (闭卷笔试180分钟) 题号一二三 分数 一、选择题（1-8小题，每小题4分，共32分，只有一个选项符合要求） 1.若反常积分+10 1xa(1+x)bdx收敛，则(C ) (A)a 1 (B)a 1且b 1 (C)a 1 (D)a 1且a + b 1 2.已知函数f(x) = 2(x 1);x 1 lnx;x 1，则f(x)的一个原函数是(D ) (A)F(x) = (x 1)2;x 1 x(lnx 1);x 1 (B)F(x) = (x 1)2; x 1 x(lnx + 1) 1; x 1 (C)F(x) = (x 1)2;x 1 x(lnx + 1) + 1;x 1 (D)F(x) = (x 1)2;x 1 x(lnx 1) + 1;x 1 3.已知函数f(x) = x; x 0 1 n; 1 n+1 : 1; x : 2 ax; x 1 x; 1 x 0;xnexn+1 = exn 1(n = 1;2; )，证明fxng收敛，并求lim n!1 xn 答案：单调有界准则，lim n!1 xn = 0 20. (本题满分11分) 设实二次型f (x1;x2;x3) = (x1 x2 + x3)2 + (x2 + x3)2 + (x1 + ax3)2，其中a是参数. (I)求f (x1;x2;x3) = 0的解. (II)求f (x1;x2;x3)的规范型 答案：(I)当a = 2时，有唯一零解k(0;0;0)T,当a = 2时，有通解k( 2; 1;1)T;k 2 R (II)f的规范型为z21 + z22 21. (本题满分11分) 已知a是常数，且矩阵A = 2 66 4 1 2 a 1 3 0 2 7 a 3 77 5经初等变换化为B = 2 66 4 1 a 2 0 1 1 1 1 1 3 77 5 (I)求a. 第2页,共3页 (II)求满足AP = B的可逆矩阵P. 答案：(I)a=2 (II)P = 2 66 4 3 6k1 4 6k2 4 6k3 1 + 2k1 1 + 2k2 1 + 2k3 k1 k2 k3 3 77 5,因P可逆，k3 = k2 22. (本题满分11分) 已知连续f(x)满足x0 f(t)dt +x0 tf(x t)dt = ax2 (I)求f(x) (II)若f(x)在区间0,1上的平均值为1，求a的值. 答案：f(x) = 2a(1 e x); a = e2 23. (本题满分11分) 已知函数z = z(x;y)由方程(x2 + y2)z + lnz + 2(x + y + 1) = 0确定，求z = z(x;y)的极值. 答案：Z( 1;1) = 1为极大值 第3页,共3页