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1青 岛 大 学 2017 年 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 试 题科 目 代 码 ： 877 科 目 名 称 ： 常 微 分 方 程 （ 共 2 页 ）请 考 生 写 明 题 号 ， 将 答 案 全 部 答 在 答 题 纸 上 ， 打 在 试 卷 上 无 效一、填空题（18分）1所谓微分方程就是一个或几个联系着之间关系的等式。2在微分方程中，必定含有未知函数的导数项，其中出现的就称为该微分方程的阶数。3对于n阶方程0),.,( )( nyyyyxF，如果它的解),.,( 21 ncccxy 含有常数nccc ,., 21，则称这个解为。4对于现行微分方程来说，其通解就包含了它的；对于非线性方程来说其通解并不一定包含其。二、根据下图建立相应的微分方程（15分）如图所示，一根弹簧一端固定另一端连接质量为m的物体。设弹簧系数是k,空气的阻尼系数是n，并假设物体的空气阻力与物体的运动速度成正比。试求物体运动的微分方程。三、回答下列各题（25分）1指出下列方程的阶数并判断是否为线性方程（1）yxdxdy 32 ，（2）03233 xydxdyydxyd2什么是常微分方程的特解？何为初值问题？3写出齐次和非齐次线性微分方程组的一般形式；叙述叠加原理；若)(1 xxm k2和)(2 x是非齐次线性微分方程组的解，问2211 cc 是否仍为该非齐次线性微分方程组的解？其中1c和2c是常数。四、叙述初值问题解的存在唯一性定理（Picard定理）（10）五、利用变量分离法求解下列方程（20分）1xydxdy cos2 231 yx yxdxdy六、判定下列方程是否是全微分方程，并求解。（20分）10)46()63( 3222 dyyyxdxxyx2利用积分因子法求解方程)0( ,1 22 yyxyxdxdy七、求方程组（14分）xx 112 014 211的基本解矩阵八、求解初值问题（14分） 11)0(,cos2sin12 34 xttxx九、（14分）给定非线性微分方程组)(xfx 。假设0)0( f并且向量函数)(xf在0x处连续可微。1何为非线性微分方程组)(xfx 的线性近似方程组？2判定下述非线性方程组的稳定性 231 2215.0 11 xxxxx
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