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山东科技大学2017年全国硕士研究生招生考试 线性代数试卷 一、填空题（每小题4分，共20 分） 1、已知向量组 11 1, ,1 11 a a a 线性相关，则a 2、设 、 A B均为3阶矩阵， 为 的伴随矩阵， * A A 2 A ， 3 B ，则 *1 2AB 3、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 ， 3 1 a ， 2 a 为它的两个不同的解 向量，则该方程组的通解为 4、设 是正交阵，则 d c b a A bd ac 5、矩阵 ,则 12 34 A 1 A 二、计算行列式（每题 10 分，共 20分） 1、设 2151 1306 0212 1476 D ；2、 011 1 101 1 110 1 111 0 n D 三、解答题（每小题 15分，共 30 分） 1、设 111 011 001 A 2 AA XE . ，求解矩阵方程 2、求矩阵 1221 2480 2423 3606 A 的列向量组的秩和一个最大无关组，并把其 余列向量用最大无关组线性表示. 取何值时，非齐次线性方程组 123 123 123 0, 3, 1, xxx xxx xxx 四、 （本题 20 分）当 有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解 五、 （本题 20 分）设二次型 22 123 1 2 12 23 (,) 2 4 4 T f xxx xA x x x xx xx ， （1）写出二次型 f 的矩阵； （2）求正交变换x Py ，把二次型 f 化为标准形； （3）判断 f 是否为正定二次型. 六、 （本题 20 分）已知 是矩阵 1 1 1 x 3 212 5 12 Aa b 的一个特征向量 （1）试确定参数 以及特征向量 , ab x 所对应的特征值 （2）问 能否相似于对角矩阵？说明理由. A七、证明题（每小题 10分，共 20 分） 1、设 是非齐次线性方程组Ax b 的一个解， 12 - , nr 为对应的齐次线性 方程组的一个基础解系，证明： 12 , - , nr 线性无关 2、设 () ij n n Aa 1 ,2 , , ij 为 阶非零矩阵， 为 的代数余子式，且满足 ，证明： n n (2 n ) ij A ij a (, ) ij ij aA () RAn .
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