2018山东科技大学研究生入学考试848线性代数真题.pdf

山东科技大学2018年全国硕士研究生招生考试线性代数试卷一、填空题（每小题5分，共25分）1、已知矩阵1 0 0 40 1 7 90 0 0 0A ，则该矩阵的秩 R A 2、设A为3阶方阵，且A的行列式 0A a ，而 *A 为A的伴随矩阵，则*A 3、设 =a (1,0,-2) ， ( 4,2,3)b ,c与a正交，且b a c ，则 4、设矩阵 cos sinsin cosA ，则 1A 5、设3 5 2 11 1 0 51 3 1 32 4 1 3D ，ijA 是D的( , )i j 元的代数余子式，则11 12 13 14A A A A 二、计算题（每小题15分，共45分）1、设矩阵2 1 8 3 72 3 0 7 53 2 5 8 01 0 3 2 0A ，求A的秩，并求一个最高阶非零子式2、求下列非齐次线性方程组的通解：1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 1,3 2 3 4,4 3 5 2.x x x xx x x xx x x x 3、求矩阵2 1 25 3 31 0 2A 的特征值与特征向量.三、（本题20分）设有三维列向量1111 ，1112 ， 1113 ， 20 ，讨论取何值时，（1） 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表达式惟一；（2） 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表达式不惟一；（3） 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示.四、（本题20分）已知二次型 32232221321 2332),( xaxxxxxxxf )0( a 通过正交变换化成标准形 232221 52 yyyf ，求未知常数a及所用正交变换矩阵.五、（本题 20 分）已知 1a， 2a， 3a是三维向量空间 3R 的一个基，设1 1 2 32 3 3 ,b a a a 2 1 2 32 2 ,b a a a 3 1 2 35 3b a a a ，（1）证明 1b， 2b， 3b也是 3R 的一个基；（2）求由基 1b， 2b， 3b到 1a， 2a， 3a的过渡矩阵；（3）若向量a在基 1a， 2a， 3a下的坐标为(1, 2,0) ，求a在基 1b， 2b， 3b下的坐标.六、证明题（每小题10分，共20分）1、设列矩阵 1 2( , , , )nX x x x 满足 1X X ， E 为 n 阶单位矩阵，2H E XX ,证明：（1）H H ；（2）H 为正交矩阵2、设n阶矩阵A满足 2A A ，E为n阶单位矩阵，证明： ( ) ( )R A R A E n .