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共 2 页 第 1 页 电子科技大学 2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：835 线性代数 注意事项：所有答案必须写在答卷纸上，否则答案无效。 符号说明: I 表示单位矩阵, * A 表示伴随矩阵, R表示实数域. 一(15 分) 已知 3 阶矩阵 121 212 , , AB , 其中 1212 , 都是 3 维列向量. 若 4, 5 AB , 求32 AB . 二(20 分) 是 否存在满足如下条件的矩阵? 如果 有, 请写出一 个或一对这样的矩阵( 不必说明 理由). 如果 没有, 请说明 理由. (1) 两个秩为 2 的矩阵 43 A 与 34 B 使得 ABO . (2) 3 阶矩 阵 C 使得 3 CO , 但是 4 CO . (3) 2 阶正 交矩阵 F 和 G 使得FG 也是正交矩阵. (4) 2 阶矩 阵 U, W 使得UW WU I . 三(20 分) 设 2 阶矩阵 A, B 满足 32 ABAB . (1) 证明: ABB A . (2) 设 12 34 A , 求 B. 四(20分) 设 12 34 A , 规定2 阶实 矩阵线性空间 22 R 上的线性变换 A 为: 22 22 22 :, A BA BB AB RR R . (1) 试计算线性变换 A 在 22 R 的标准基 10010000 , 00001001 下的矩阵. (2) 写出线性变换 A 的像空间 Im A 与核空间 Ker A . 五(15分) 已 知非齐次线性方程组 123 12 3 12 3 23 , 2456 , 23 xxx xaxx xx a x 有3 个线性无关的解, 求 a 的值 以及原方程组的通解. 共 2 页 第 2 页 六(20 分) 设 11 11 45, 23, nnn nnn x xy yxy , 且 00 2, 1 xy , 求 100 x . 七(20 分). (1) 设 3 1, 3, 4 , 5, 0, 1 TT R , 试求一个 3 阶正交矩阵 A 使得 A ( 不 用写求解过程). (2) 设非零向量 , n R . 证明: 存 在正交矩阵 A 使得 A 当且仅当 0 TT . 八(20 分). 设 A 是 3 阶 实对称矩阵, 各行元素之和均为 0, 且 22 RIA , 3 A I 不可逆. (1) 1 T XA X 表示什么样的二次曲面? 为什么? (2) 求伴随矩阵 * A .
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