南方科技大学801线性代数.pdf

1 / 2 考 试 科 目 代 码 ： 801 考 试 科 目 名 称 ： 线 性 代南方科技大学2024级硕士研究生入学考试大纲 数一 、 考 试 要 求1） 要 求 考 生 熟 练 掌 握 线 性 代 数 的 基 本 概 念 、 基 本 理 论 和 基 本 方 法 。2） 要 求 考 生 具 有 严 格 的 数 学 论 证 能 力 、 举 反 例 能 力 和 基 本 计 算 能 力 。3） 要 求 考 生 具 备 应 用 线 性 代 数 解 决 实 际 问 题 能 力 。二 、 考 试 内 容1） 多 项 式a.多 项 式 无 重 因 式 的 充 要 条 件 ， 复 数 域 及 实 数 域 上 多 项 式 因 式 分 解 理 论 。b.多 项 式 的 欧 几 里 得 除 法 。 2)行 列 式a.行 列 式 的 概 念 ， 行 列 式 的 子 式 ， 余 子 式 及 代 数 余 子 式 的 概 念 。b.行 列 式 的 性 质 ， 按 行 、 列 展 开 定 理 ， Cramer 法 则 ， 行 列 式 乘 法 公 式 。c.计 算 行 列 式 的 基 本 方 法 。3） 线 性 方 程 组a.高 斯 消 元 法 、 初 等 变 换 求 解 线 性 方 程 组 的 方 法 。b.向 量 线 性 相 关 、 线 性 无 关 ， 向 量 组 等 价 ， 极 大 无 关 组 ， 向 量 组 的 秩 ， 矩 阵 的 秩 ， 基础 解 系 ， 解 空 间 等 概 念 。c.线 性 方 程 组 有 解 判 别 定 理 、 线 性 方 程 组 解 的 结 构 。 4)矩 阵a.矩 阵 ， 对 角 矩 阵 、 三 角 矩 阵 、 对 称 阵 、 反 对 称 阵 的 概 念 及 其 性 质 。b.矩 阵 的 线 性 运 算 、 乘 法 、 转 置 ， 以 及 它 们 的 运 算 规 律 。c.逆 矩 阵 的 概 念 ， 逆 矩 阵 的 性 质 以 及 矩 阵 可 逆 的 充 要 条 件 ， 伴 随 矩 阵 的 概 念 ， 伴随 矩 阵 的 性 质 。d.矩 阵 的 初 等 变 换 ， 初 等 矩 阵 的 性 质 ， 用 初 等 变 换 法 求 矩 阵 的 秩 及 逆 矩 阵 。 e.分 块 矩 阵 ， 分 块 阵 的 运 算 及 初 等 变 换 。5） 二 次 型 2 / 2 a.二 次 型 的 概 念 及 二 次 型 的 矩 阵 表 示 ， 二 次 型 秩 的 概 念 ， 二 次 型 的 标 准 形 、 规 范形 的 概 念 及 惯 性 定 律 。b.用 合 同 变 换 、 正 交 变 换 化 二 次 型 为 标 准 形 的 方 法 。c.二 次 型 和 对 应 矩 阵 的 正 定 、 半 正 定 、 负 定 、 半 负 定 及 其 判 别 法 。6)线 性 空 间a.线 性 空 间 ， 子 空 间 ， 生 成 子 空 间 ， 基 底 ， 维 数 ， 坐 标 ， 过 渡 矩 阵 ， 子 空 间 的 和 与直 和 等 概 念 。 线 性 空 间 同 构 的 概 念 。b.基 扩 张 定 理 ， 维 数 公 式 ， 直 和 的 充 要 条 件 。7） 线 性 变 换 a.线 性 变 换 ， 特 征 值 ， 特 征 向 量 ， 特 征 多 项 式 ， 特 征 子 空 间 ， 不 变 子 空 间 ， 线 性 变换 的 矩 阵 ， 相 似 变 换 ， 相 似 矩 阵 ， 线 性 变 换 的 值 域 与 核 ， Jordan 标 准 形 ， 最 小多 项 式 等 概 念 与 计 算 。b.线 性 变 换 的 性 质 ， 相 似 矩 阵 的 性 质 ， 核 空 间 与 值 域 的 性 质 ， 不 变 子 空 间 的 性 质 。Cayley-Hamilton 定 理 ， 广 义 特 征 子 空 间 直 和 分 解 ， 最 小 多 项 式 理 论 。c.线 性 变 换 的 矩 阵 表 示 方 法 ， 线 性 变 换 的 特 征 值 、 特 征 向 量 的 方 法 ， 矩 阵 可 相 似对 角 化 的 条 件 与 方 法 ， 线 性 变 换 与 矩 阵 “ 互 化 ” 的 思 想 方 法 。8)欧 几 里 得 空 间a.内 积 ， 欧 氏 空 间 ， 向 量 长 度 、 夹 角 、 距 离 ， 度 量 矩 阵 ， 标 准 正 交 基 、 正 交 补 ，正 交 变 换 ， 正 交 阵 ， 对 称 变 换 ， 同 构 等 概 念 。 b.Schmidt 正 交 化 方 法 ， 标 准 正 交 基 的 性 质 ， 正 交 变 换 的 性 质 ， 正 交 阵 的 性 质 ，对 称 变 换 的 性 质 及 标 准 形 。c.实 对 称 阵 的 特 征 值 、 特 征 向 量 的 性 质 ， 用 正 交 相 似 变 换 将 实 对 称 阵 相 似 （ 合 同 ）对 角 化 。d.向 量 到 子 空 间 的 距 离 和 最 小 二 乘 法 。e.酉 空 间 的 概 念 和 基 本 性 质 。三 、 考 试 时 间 ： 180 分 钟 ， 满 分 ： 150 分四 、 参 考 书 目 高 等 代 数 ， 北 大 数 学 系 几 何 与 代 数 教 研 室 ， 高 等 教 育 出 版 社 ， 2013 年 ， 第 四 版 。