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第- 1 - 页，共- 2 - 页 绍兴 文理 学 院 2021 年 硕士研究 生入学考 试初试试 题 报考专业 ： 基础 数 学、计算 数学、应 用数学、 数学教育 考试科目 ： 高等代数 科目 代 码： 851 注意事项 ： 本试题的 答 案必须写 在 规定的答 题 纸上，写 在 试题上不 给 分 。 一、填空题 （共 32 分，每小题 4 分） 1.(4 分) 42 475 1 0 xxx = 的有理根是 。 2.(4 分) 线性方程组 = + = + + + 0 0 3 1 4 3 2 1 x x x x x x 的解空间的维数为 。 3.(4 分) 设 B A, 为 n 阶正交矩阵，且 , 0 | | A 0 | | B ，则 = | | AB 。 4.(4 分) 设向量组 123 , 线性无关，向量组 123 , 可由向量组 123 , 线性表示： 11 23 2 123 31 3 4 2 3 =+ =+ = ，则向量组 123 , 线性 。 5.(4 分) 用 n x P 表示数域 P 上次数小于 n 的多项式连同零多项式按一般意义下多项式加 法 和数乘所成的线性空间 ， n x P 上线性变换 ： ( ) ( ) ( ) fx f x = （微分变换） ，则 的值域 ( ) I m ()| () n fx fx Px = 为 ， 的核 ( ) () | ()= 0 n K e r fx Px fx = 为 。 6.(4 分) 设 1 ，5， 是矩阵 = 1 2 0 2 2 2 0 2 3 A 的特征值，则 = 。 7.(4 分) 设 1 26 103 1 14 A = ，则 A 的 -矩阵 EA 的标准形为 。 8.(4 分) 欧氏空间中标准正交基 n , , , 2 1 的度量矩阵为 。 二、计算题（ 共 90 分，每小题 15 分） 1 （15 分）设 1 ) ( , 1 4 4 ) ( 2 2 3 4 = + + = x x x g x x x x x f ，求 ) ( ), ( ( x g x f ，并求 ) ( ), ( x v x u ，使得 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ( x g x v x f x u x g x f + = 。 2 （15 分）计算 n 阶行列式 n a a a a + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 （ n j a j , , 2 , 1 , 0 = ） 。第- 2 - 页，共- 2 - 页 3 （15 分）求非齐次线性方程组 = 16 8 4 5 1 10 5 3 1 6 3 1 1 2 1 4 3 2 1 x x x x （* ）的导出组的一个基础解 系，并用此基础解系进一步求（*）的通解。 4 （15 分） 已知3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 = 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 A ，求 A 的伴随矩阵 * A 的逆矩阵 ( ) 1 * A 。 5 （15 分）设 22 = |, xy R xyzw R zw 是所有 2 阶方阵 关于一般意义下矩阵加法和数乘 构成的线性空间， 22 AR ，令 11 () 11 AA = ，求 在线性空间 22 R 的一个基 11 12 21 22 10 01 00 00 , 00 00 10 01 EEEE = = = = 下的矩阵。 6 （15 分）设 = 5 4 2 4 5 2 2 2 2 A ，求正交矩阵U ，使得 AU U T 为对角形。 三、证明题（ 共 28 分，每小题 14 分） 1. （14 分） 已知 m 个向 量 m , , , 2 1 线性 相关 ，但其 中任 意 1 m 个向 量都 线性无 关， 证 明： （1） （7 分）如果等式 11 2 2 0 mm kk k + + = ，则 m 个数 m k k k , , , 2 1 或者全为 0 ， 或者 全不为 0 。 （2） （7 分）如果存在两个等式： 11 2 2 0 mm kk k + + = （I）和 11 2 2 0 mm ll l + + = （II） ，其中 0 1 l ，则 m m l k l k l k = = = 2 2 1 1 。 2 （14 分）设 是数域 P 上 n 维线性空间V 的线性变换， 在V 的一个基 n , , , 2 1 下的 矩阵为 A ， 的核 ( ) | Ker O = = ，则 （1） （6 分） 是单射的充要条件是 Ker O = ； （2） （8 分） Ker S （ S 为 AX O = 的解空间） ，且 dim Ker n = 秩 () A
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