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2020 年 招 收 攻 读 硕 士 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题*招 生 专 业 与 代 码 ： 070101 基 础 数 学 、 070102 计 算 数 学 、 070103 概 率 论 与 数 理 统 计 、 070104应 用 数 学 、 070105 运 筹 学 与 控 制 论考 试 科 目 名 称 及 代 码 ： 810 高 等 代 数 （ B 卷 ）考 生 注 意 ： 所 有 答 案 必 须 写 在 答 题 纸 （ 卷 ） 上 ， 写 在 本 试 题 上 一 律 不 给 分 。1. （ 10 分 ） 证 明 ： 如 果 )()(|1 32312 xxfxfxx ， 则 )(|)1( 1 xfx ， )(|)1( 2 xfx 。2. （ 10 分 ） 计 算 n阶 行 列 式 1221 2311 21543 1432 1321 nnn nnnn n nn 。 3. （ 15 分 ） 求 下 列 线 性 方 程 组 的 全 部 解 ,并 写 出 对 应 齐 次 方 程 组 的 基 础 解 系1 2 4 51 2 3 41 2 3 4 51 2 3 4 53 22 14 2 6 3 4 82 4 2 4 7 9x x x xx x x xx x x x xx x x x x 。4. （ 15 分 ） 设 BA, 为 n阶 方 阵 ， 证 明 ： BrankArankBArankBArank 。5. （ 15 分 ） 设 向 量 组 m , 21 线 性 无 关 ， 向 量 组 , 21 m 线 性 相 关 。 证明 ： 可 以 由 向 量 组 m , 21 线 性 表 示 。考 试 科 目 ： 共 2 页 ， 第 1 页 6. （ 15 分 ） 设 TA A ， 证 明 A可 逆 当 且 仅 当 存 在 矩 阵 B， 使 得 TAB B A 正 定 。7. （ 15 分 ） 设 矩 阵 111 111 111A ， 求 正 交 矩 阵 T ， 使 ATT 1 为 对 角 形 。8. （ 15 分 ） 求 矩 阵 363 242 121A 的 初 等 因 子 与 若 尔 当 典 范 形 。9. （ 20 分 ） 记 0=,= daCbadc baV ， 对 任 一 VA ， 定 义 V 上 的 线 性 变 换 T 为 ： 对 任 意 VX ， XA=AXXT 。 假 设 10 01A= 。 试 求 ： T 的 所 有 特 征值 以 及 与 这 些 特 征 值 相 对 应 的 特 征 向 量 。10. （ 20 分 ） 设 A、 B是 nn 矩 阵 ， 且 EBA = 22 （ E是 n阶 单 位 矩 阵 ） ， 且0=BA ， 证 明 ： BA 不 是 可 逆 矩 阵 。 考 试 科 目 ： 共 2 页 ， 第 2 页
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