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2018 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题*学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论专业研究方向：各方向考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分 一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。）1、设 为 3 阶矩阵, , 求 = 。 A13A1*()5A2、当实数 时，多项式 有重根。 t 32xt3、 取值 时，齐次线性方程组 有非零解。12340()xx4、实二次型 ，其中二次型的矩阵22123131(,)TfxXAxabx(0)的特征值之和为 1，特征值之积为-12，则 = ， = 。A5、矩阵方程 , 那么 。3426、已知向量 ， ， 是欧氏空间 的一10,21,031,023R组标准正交基,则向量 在这组基下的坐标为 。 ,考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页考试科目: 高等代数 共 4 页,第 2 页7、已知矩阵 均可逆， ，则 。,AB0BXA1X8、4 阶方阵 的 Jordan 标准形是 。 209、在欧氏空间 中，已知 ， ，则 与 的夹角为 3R2,1,21（内积按通常的定义） 。 10、设三维线性空间 V 上的线性变换 在基 下的矩阵为 ，则 在321,210基 下的矩阵为 。 213,考试科目: 高等代数 共 4 页,第 3 页二、 （10 分）求多项式 与 的最大公因式。32()3fxx32()47gx三、 （10 分）计算行列式 。11222nnnnaaxDx四、 （15 分）设线性方程组123x讨论 取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示其全部解。五、 （15 分）设 为 级实对称矩阵， ， 的秩等于 （ ） 。An2Arn0（1）证明：存在正交矩阵 ，使 其中 是 级单位矩阵.T10rEr（2）计算 。nE六、(15 分) 设二次型 ,求出非退化线性变换将上21231123,4fxxx述二次型替换成标准形考试科目: 高等代数 共 4 页,第 4 页7、(15 分) 为数域 上四维向量空间， ， ， ，VF10,21,31,2， 0， 的子空间 ， ，试求 和 的基与维4,1321,LV43LV2V数。八、 （15 分）设 是线性空间 的线性变换且 。令 ， 。21012证明: 且对每个 有 。21V1V九、 （15 分）设 ，求正交矩阵 ，使得 是对角矩阵。0342ATTA十、 （10 分）设 为方阵， 是 的最小多项式， 为任意多项式。 ()fxA()gx证明： 可逆的充分必要条件是 。()gA(),1f
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