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科目代码：814 科目名称：高等代数 第 1 页 共 2 页 南京航空航天大学 2017 年硕士研究生入学考试初试试题（ A卷 ） 科目代码: 814 科目名称: 高等代数 满分: 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、(15 分)设 4 阶矩阵 A的特征多项式是 baxxxxxf += 234 55)( ，且 )(|1 2 xfx ， 这里“|”表示多项式的整除. 1求 ba, 的值； 2求 A的全部特征值； 3问： 1 2 x 是否有可能成为矩阵 A的最小多项式？并说明理由. 二、 (15 分) 设 1 V 是由向量组 TTT a )3,3(,)1,1,2(,)2,0,1( 321 = 生成的 3 R 的一个 2 维子空间（这里“ T ”表示转置，以下各题相同） 1求 a的值； 2求 1 V 的正交补 1 V 的维数和基； 3若 2 V 是由向量组 TT )3,1,2(,)0,1,1( 21 = 生成的 3 R 的另一个子空间，求 21 VV 的维 数和基. 三、(20 分)设有非齐次线性方程组 =+ =+ =+ = .1 ,123 )II( ;232 , )I( 321 321 321 31 xbxx xxx xxx axx 1证明对任意实数 a，方程组 (I)有无穷多解； 2求 ba, 的值，使得方程组 (I)和 (II)同解; 3在方程组 (I)和 (II)同解的情况下，求方程组在实数域上模最小的特解. 四、(20 分)设 3 阶矩阵 A与 3 维列向量 ，使得向量组 2 , AA 线性无关，且满足 AAA = 23 2 ，矩阵 ),( 2 AAP = . 1求矩阵 B ，使得 1 = PBPA ； 2求行列式 AE + ，这里 E 表示单位矩阵； 3问：矩阵 A是否可以对角化？如能，求与其相似的对角标准形；如不能，求与其相似的 Jordan 标准形. 科目代码：814 科目名称：高等代数 第 2 页 共 2 页 五、(20 分) 设有二次型 )(2)( 323121 2 3 2 2 2 1 xxtxxtxxtxxxXAXXf T += . 1写出 )(Xf 在正交变换 PYX = 下的一个标准形； 2若 )(Xf 为正定二次型，求 t的取值范围； 3若 1=t ，求正定矩阵 B ，使得 2 BA= . 六、(20 分) 设 A是 nm 矩阵， B是 mn 矩阵，且 AABA= ，证明： 1 )()( AAB 秩秩 = ; 2非线性方程组 =AX 有解的充分必要条件是 =AB ； 3若以 r E 表示 r 阶单位矩阵，则 AB与形如 00 0 r E 的分块矩阵相似，且 r 是 A的秩. 七、(20 分) 设 BA, 是两个 n阶矩阵，且 BAAB = ，证明： B可逆的充分必要条件是 A可逆; 为 B的特征向量的充分必要条件是 为 A的特征向量； 若 A是正定矩阵，则 B也是正定矩阵. 八、(20 分) 设 是 n维欧氏空间 V 的线性变换， 满足条件：对任意 V, ，有 )(,(),( = ， 这里 ),( 表示欧氏空间上的内积，证明： 1若 有特征值，则其特征值必为 0； 2若 没有特征值，则 必可逆； 3 2 必有 n个实特征值，其特征值均小于或等于 0; 4若 n为奇数，则 不可逆
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