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1青 岛 大 学 2017 年 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 试 题科 目 代 码 ： 816 科 目 名 称 ： 高 等 代 数 （ 共 2 页 ）请 考 生 写 明 题 号 ， 将 答 案 全 部 答 在 答 题 纸 上 ， 答 在 试 卷 上 无 效一 、 （ 15 分 ） 令 nnji njni ba baA 11 ， 计 算 行 列 式 Adet 。二 、 （ 10 分 ） 设 )(),(),(),( 2121 xgxgxfxf 是 数 域 P 上 的 多 项 式 ， 并 且 2,1,1)(),( jixgxf ji 。 证 明 ： )(),()(),()()(),()(21212211 xgxgxfxfxgxfxgxf 三 、 （ 20 分 ） 设 V 是 数 域 P 上 的 n维 线 性 空 间 ， n , 21 是 V 的 一 组 基 ，nmm , 21 是 V 的 一 个 线 性 无 关 向 量 组 。 证 明 ： 在 n , 21 中 存在 mn 个 向 量 mniii , 21 ， 使 得 mniiim , 2121 构 成 V 的 一组 基 。四 、 （ 20 分 ） 设 A是 n阶 非 零 实 对 称 矩 阵 ， 二 次 型 AxxT 的 符 号 差 为 零 。证 明 ： 存 在 n维 非 零 实 向 量 321 , ， 使 得 0,0,0332211 AAA TTT 。五 、 （ 20 分 ） 设 n元 非 齐 次 线 性 方 程 组 bAx 有 解 ， 令 是 bAx 的 解 向量 ， s , 21 是 其 导 出 组 0Ax 的 基 础 解 系 。 证 明 ：（ 1） s , 21 线 性 无 关 ；（ 2） bAx 的 任 意 2s 个 解 向 量 1210 , ss 必 线 性 相 关 。2六 、 （ 15 分 ） 设 BC CAM T 是 实 矩 阵 ， 其 中 BA, 分 别 为 nm, 阶 方 阵 。（ 1） 证 明 ： 若 M 是 对 称 矩 阵 ， 则 BA, 是 对 称 矩 阵 。（ 2） 证 明 ： 若 M 是 正 定 矩 阵 ， 则 CACBBA T 1, 是 正 定 矩 阵 。七 、 （ 15 分 ） 设 BA, 是 数 域 P 上 的 n阶 方 阵 ， 且 EAB m )( ， 其 中 E 是 n阶单 位 矩 阵 ， m 是 正 整 数 。 证 明 ： EBA m )( 。八 、 （ 15 分 ） 设 110 101 100A ， 1)( 23 xxxxf 。 证 明 ：（ 1） 0)( Af 。（ 2） 若 多 项 式 )(xg 满 足 0)( Ag ， 则 )()( xgxf 。九 、 （ 10 分 ） 设 BA, 是 数 域 P 上 的 n阶 方 阵 ， 且 EBAAB ， 其 中 E 是n阶 单 位 矩 阵 。 记 0,0 21 BxPxVAxPxV nn , 0 ABxPxV n . 证 明 ：（ 1） BAAB .（ 2） 21 VVV .十 、 (10 分 )设 V 是 数 域 P 上 的 3维 线 性 空 间 ，321 , 是 V 的 一 组 基 ， 线性 变 换 在 该 组 基 下 的 矩 阵 为 101 121 001A计 算 ： 将 空 间 V 按 的 特 征 值 分 解 为 的 不 变 子 空 间 的 直 和 。
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