资源描述
1 青岛大学 2016 年硕士研究生入学考试试题 科目代码： 816 科目名称： 高等代数 （共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效 一、（ 15 分）设 ),(1xf ),(2xf ),(1xg )(2xg 是四个多项式 , 其中 0)(1 xf , 设 )()(|)()( 2121 xfxfxgxg ,证明：若 )(|)( 11 xgxf ，则 )(|)( 22 xfxg . 二、（ 15 分）设3142313150111253D ， 分 别用 ijM 和 ijA 表示 D 的 ),( ji 元的余子式和代数余子式，求 （ 1） 14131211 AAAA , （ 2） 41312111 MMMM . 三、（ 15 分）设矩阵 ),( 4321 A ，其中向量 432 , 线性无关， 321 -2 ，向量 4321 ，求方程组 Ax 的通解 . 四、（ 15 分）设向量组 m , 21 线性无关，向量 1 可由该向量组线性 表示，但向量 2 不能由该向量组线性表示 .证明：对任意数 l ，向量 组 2121 , lm 必定线性无关 . 五、（ 15 分）设 PBAP ，其中 11 41P， 20 01B,求 nA . 六、（ 15 分）设 3221232221321 22),( xtxxxxxxxxxf 是正定二次型， （ 1）写出二次型的矩阵； （ 2）试确定 t 的范围 . 2 七、（ 15 分）设 nnP 是数域 P 上的全体 n 阶 方阵按通常的矩阵的加法和 数与矩阵的乘法构成的线性空间 . 设 nnPA ，记 )( AC 为 nnP 中与 A 可交换的全体矩阵构成的集合 . （ 1）证明： )(AC 构成 nnP 的线性子空间 ; （ 2）当nA00000021（其中数 n , 21 互不相同）时， 求 )(AC 的维数和一组基 . 八、（ 15 分）设线性变换 在基 321 , 下的矩阵为12422421xA ， 在另一组基 321 , 下的矩阵是yB00040005 ，求 x 和y . 九、（ 15 分）设 A 是 n 阶实对称矩阵且 EA2 ，其中 E 表示 n 阶单位矩阵 . 证明：存在正交矩阵 Q ，使得 rnr EEAQQ 0 01 ，其中 rE 和 rnE 分别表示 r 阶和 rn 阶单位矩阵 . 十、（ 15 分）设 1V 和 2V 分别表示数域 P 上的齐次线性方程组 021 nxxx 和 nxxx 21 的解空间，证明： .21 VVPn
展开阅读全文