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中国科学院大学 2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称： 高等代数 考生须知： 1本试卷满分为 150分，全部考试时间总计 180分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 说明 ： 本卷共九题， 前七道题必答，第八题、第九题只准选其一答之。 一 (20 分 ) 若整系数多项式 ()fx有根 pq，这里 ,pq是互素的整数，证明 1) ( ) | (1 ) , ( ) | ( 1 )q p f q p f ； 2) 对任意整数 m 有 ( ) | ( )mq p f m 。 二 (18 分 ) 以 det( )M 记矩阵 M 的行列式，证明下列 结论 ： 1) 设 ,AB都是 n 阶实方阵， 则 d e t d e t( 1 ) d e t( 1 )AB A B A BBA 2) 设 A 是 mn 矩阵 ， B 是 nm 矩 阵， kI 表示 k 阶单位矩阵。则 d e t d e tnmmnI A B I B A , ( 是复数 )。 三 (18 分 ) 已知 n 阶方阵 A 满足 2 nAI ，问：秩 nIA 秩 nIA ? 并证明 你的答案 。 四 (18 分 )设 A 是 n 阶实对称正定矩阵， B 是 n 阶 实对称半正定矩阵， 1) 证明： d e t ( ) d e t ( ) d e t ( )A B A B ； 2) 当 2n 时，问 ： 在什么条件下有 d e t ( ) d e t ( ) d e t ( )A B A B ，并证明之。 五 (18 分 )设 n 阶复方阵 A 的全部特征值为 12, , , n 。求 A 的伴随矩阵 *A 的全 部特征值。 科目名称：高等代数 第 1 页 共 2 页 六 (20 分 ) 已知实对称矩阵 2 2 22 5 4 2 4 5 A 1) 求正交矩阵 Q ，使得 1QAQ 为对角形矩阵； 2) 求解矩阵方程 2XA 。 七 (18 分 ) 设 是非零复数， k 为正整数， ()nJ 表示特征值为 的 n 阶若 当块。 1) 求 ()knJ 的若当标准形； 2) 证明： ()nJ 有 k 次方根，即存在 n 阶复方阵 B 使得 ()k nBJ ； 3) 证明：任意 n 阶 可逆 复方阵 A 都有 k 次方根。 八 (20 分 ) n 阶实方阵 P 称为 正交矩阵，如果 t nPP I ； n 阶实方阵 R 称 为反射矩阵，如果 R 正交相似于对角矩阵 diag( 1,1, ,1) 。证明：每个 二 阶正交矩 阵 都能写成 反射矩阵的乘积。 九 (20 分 ) nx 表示实数域 上所有次数小于 ( 1)n 的多项式之集，它是 实数域 上 n 维线性空间。求导算子 D ： ( ) ( ) , ( ) nf x f x f x x D 是 nx 上的线性变换。 1) 对于任意实数 a ， 证明 平移算子 aS ： ( ) ( ) , ( ) anf x f x a f x x S 是 nx 上 的线性 变换，并且存在一个多项式 ( ) ng x x ，使得 ()a gSD。 2) 分别 求出 ,aSD在基 211, , 2 ! , , ( 1 ) !nx x x n 下的矩阵。 科目名称： 高等代数 第 2 页 共 2 页
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