2020年南京信息工程大学硕士研究生招生入学考试数学分析考试大纲.docx

新祥旭考研一对一辅导咨询： 15207163484（电话 /微信） 2020 年南京信息工程大学硕士研究生招生入学考试数学分析考试大纲科目代码：702科目名称：数学分析第一部分 大纲内容一、实数集与函数1 实数集及其性质 2 确界定义与确界原理 3 函数概念 4 有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）二、数列极限1 数列极限概念 2 收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算） 3 数列极限存在的条件：包括单调有界定理与柯西（Cauchy）准则三、函数极限1 函数极限概念 2 函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算） 3 函数极限存在的条件：包括归结原则（Heine 定理），单调有界定理与柯西准则 4 两个重要极限 5 无穷小量，无穷大量 , 非正常极限，阶的比较，曲线的渐近线四、函数的连续性1 连续性概念，间断点及其分类 2 连续函数的性质（有界性、保号性、连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性；闭区间上连续函数的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性）3 实数集完备性的基本定理的应用 4 初等函数的连续性新祥旭考研一对一辅导咨询： 15207163484（电话 /微信） 五、导数与微分1 导数的概念 2 求导法则 3 微分概念 4 高阶导数与高阶微分 5 参量方程所确定的函数的导数六、微分中值定理及其应用1 中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理） 2 不定式极限 3 泰勒公式（及其皮亚诺余项与拉格朗日余项、一些常用初等函数的泰勒展开式、应用于近似计算） 4 函数的单调性、极值、最大值与最小值 5 函数的凸性与拐点 6 函数图象的讨论七 不定积分1 原函数与不定积分概念，基本积分公式 2 换元积分法与分部积分法 3 有理函数和可化为有理函数的积分八、定积分1 定积分的概念及其几何意义 2 可积条件的应用（包括必要条件，可积准则），三类可积函数 3 定积分的性质（线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理） 4 微积分学基本定理，定积分的分部积分法与换元法九、反常积分1 无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛与条件收敛 2 无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法及 p-函数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法 3 无界函数反常积分概念，无界函数反常积分比较判别法及 p-函数判别法十、定积分的应用1 平面图形的面积 2 由截面面积求体积、旋转体的体积 3 曲线的弧长与曲率 4 旋新祥旭考研一对一辅导咨询： 15207163484（电话 /微信） 转曲面的面积十一、数项级数1 级数收敛的概念，柯西收敛准则，收敛级数的性质 2 正项级数收敛判别法（比较判别法、p-级数判别法、比式与根式判别法、积分判别法） 3 一般项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数的莱布尼兹判别法，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法，绝对收敛级数的性质十二、函数列与函数项级数1 函数列与函数项级数的一致收敛性，柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法 2 函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性、可微性十三、幂级数1 幂函数的收敛性，阿贝尔定理，收敛半径与收敛域，内闭一致收敛性，和函数的分析性质 2 函数的幂级数展开十四、傅里叶级数1 傅里叶级数的概念，三角函数系的正交性 2 以 2L 为周期的函数的展开式，奇式与偶式展开 3 收敛定理的证明十五、多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数 2 二元函数的极限，重极限与累次极限 3 二元函数的连续性，有界闭域（集）上连续函数的性质十六、多元函数的微分学新祥旭考研一对一辅导咨询： 15207163484（电话 /微信） 1 偏导数与全微分概念，可微性 2 复合函数微分法，高阶导数，高阶微分，混合偏导数与其顺序无关性 3 方向导数与梯度 4 泰勒公式与极值问题十七、隐函数定理及其应用1 隐函数的概念，隐函数定理 2 隐函数组定理，隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式及其性质 3 几何应用（空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线） 4 条件极值与拉格朗日乘数法十八、含参量积分1 含参量正常积分，连续性、可积性与可微性 2 含参量反常积分的收敛与一致收敛，柯西准则，维尔特拉斯（Weierstrass）判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，含参量无穷积分的连续性，可积性与可微性 3 欧拉积分十九、曲线积分1 第一型曲线积分的概念，性质和计算公式 2 第二型曲线积分的概念，性质和计算公式，两类曲线积分之间的关系二十、重积分1 二重积分概念与性质 2 二重积分的计算（化为累次积分），二重积分的换元法（极坐标与一般变换） 3. 格林（Green）公式，曲线积分与路线的无关性 3 三重积分的概念与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换） 4 重积分的应用（体积、曲面面积等）二十一、曲面积分1 第一型曲面积分的的概念与计算 2 第二型曲面积分的概念与计算，两类曲面积分之间的关系 3 高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式新祥旭考研一对一辅导咨询： 15207163484（电话 /微信） 第二部分 说明1、基本要求：一元函数微积分学：1. 理解和掌握邻域，有界集，上下确界 函数，复合函数，反函数，有界函数，单调函数，奇函数，偶函数概念。熟练掌握上下确界，复合函数，反函数的 应用。2. 理解和掌握数列极限的定义，数列极限性质的原理及推导。单调有界原理，柯西准则及应用。函数极限的定义。函数极限存在的归结原理 连续性的定义及其证明，间断点及其分类。连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的性质。区间套定理，柯西准则聚点定理，有限覆盖定理原理及证明。闭区间上的连续函数性质的原理及证明及应用。3. 熟练掌握数列极限定义证明，运算求极限。函数极限定义证明，运算求极限。函数极限柯西准则及应用。两个重要极限的计算， 无穷小量，无穷大量概念，无穷小量阶的比较及应用。一致连续性及应用。4. 理解和掌握：导数概念。 导数的四则运算。反函数的导数。复合函数的导数。求导法则与公式。微分概念，微分的运算法则。 高阶导数与高阶微分。 参数方程的一阶及 二阶导数。5. 理解和掌握：不定积分的运算法则， 换元积分，分步积分法，有理函数的积分，三角函数的积分。定积分的定义，可积必要及充分条件，可积函数类。熟练掌握定积分的性质原理，微积分基本定理，换元积分法，分步积分法及应用。掌握非正常积分的定义，性质，熟练掌握非正常积分判别准则。6. 理解和熟练掌握：级数一般判别原则，比较及根式判别方法，积分判别方法原理及使用。交错级数， 绝对收敛，阿贝尔判别法，阿贝尔。狄里克里判别法原理及应用。 函数列的一致收敛性，函数项级数的一致收敛性判别法原理及应用。一致收敛性函数列及函数项级数分析性质原理及应用。熟练掌握： 阿贝尔定理，收敛区间判别方法，幂级数的分析性质，泰勒级数，幂级数的展开原理及应用。7. 熟练掌握： 为周期的傅里叶级数展开，收敛定理证明。 为周期的傅里叶级数展开。 为周期的傅里叶级数，偶函数与奇函数的傅里叶级数。多元函数微积分学：8. 掌握平面点集，函数概念。理解 完备性定理。熟练掌握二元函数的极限的计算，累次极限的计算。熟练掌握 连续性概念，闭域连续性的性质及应用。新祥旭考研一对一辅导咨询： 15207163484（电话 /微信） 9. 掌握可微性，全微分，偏导数，可微性条件概念。熟练掌握复合函数的求导法则，复合函数的全微分。理解方向导数与梯度概念。熟练掌握：高阶偏导数， 中值定理和泰勒公式， 极值的充分及必要条件原理及应用。熟练掌握隐函数， 隐函数组的求导原理及应用。10. 掌握二重积分概念，二重积分可积条件。三重积分概念。曲面面积，重心，转动惯量，引力。第一型曲线积分与第一型曲面积分概念。第二型曲线积分概念。11. 熟练掌握 二重积分的计算：累次积分，换元积分，参量积分求导。三重积分累次积分，换元积分的计算。理解和掌握：含参变量非正常积分判别方法，分析性质。欧拉积分概念及性质。熟练掌握第一型曲线积分与第一型曲面积分计算公式，第二型曲线积分计算公式，第二型曲面积分计算公式。格林公式，路径无关定理。高斯公式及原理，斯托克斯公式及原理。2、分值比例：一元函数微积分学占 75%，多元函数微积分学占 25%。3、题型分布：计算题+证明题。4、其他规定：重点难点集中在一元函数微积分学部分，多元函数积分要理解其物理意义。考试方式为闭卷笔试，总分 150 分，考试时间为 180 分钟。