贵州大学2018年研究生考试大纲818 高等代数.doc

贵州大学硕士研究生入学考试大纲考试科目代码及名称： 818(高等代数) 一、考试基本要求 本科目考试着重考核考生掌握高等代数的基本概念、基本思想、基本分析方法和基本理论的程度，要求考生对高等代数理论体系的基本框架有一个比较全面的了解，并能综合运用所学的多项式、矩阵、行列式、线性空间、欧式空间等知识分析一些基本的数学问题。二、适用范围适用于数学类专业三、考试形式闭卷，180 分钟四、考试内容和考试要求 1多项式一元多项式，带余除法，整除，最大公因式，互素，不可约多项式，唯一分解，重因式，多项式函数，实系数多项式，复系数多项式，有理系数多项式，本原多项式。要求掌握整除，最大公因式，互素，不可约多项式，唯一分解等概念，掌握带余除法，辗转相除法。掌握整除性质，最大公因式存在性定理，因式分解唯一性定理，重因式性质，多项式函数性质，有理系数多项式性质。2矩阵代数矩阵的运算，初等矩阵，矩阵的逆，矩阵的等价，简化阶梯形，矩阵的分块和分块乘法，线性方程组的消元法。要求掌握矩阵的加法，乘法，数量乘法，转置，逆等运算，矩阵的初等变换与初等矩阵的关系，掌握分块矩阵的方法，能够用初等变换求逆矩阵和求线性方程组的一般解。3方阵的行列式行列式定义，行列式性质，行列式的计算，行列式的展开式，行列式乘法定理，Laplace 定理， Cramer 法则。要求学生掌握行列式定义。掌握行列式性质和行列式的展开式并能用之计算行列式。掌握行列式乘法定理，Laplace 定理， Cramer 法则。4.矩阵的秩与线性方程组n 维向量的线性关系，矩阵的秩，线性方程组有解的条件及解的结构。要求学生掌握向量组的线性表出，等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩等概念及其性质。掌握矩阵的秩的定义及其性质。掌握线性方程组有解的条件及解的结构，齐次线性方程组有非零解的条件，会解线性方程组。5.线性空间线性空间，向量的线性相关性，维数，基，坐标，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。要求学生掌握线性空间，维数，基，坐标等概念，掌握向量之线性关系的定义和性质，掌握基变换与坐标变换的关系。掌握子空间的和与交及直和的性质。理解线性空间同构的意义。6.线性变换与相似矩阵线性变换定义，线性变换的运算，线性变换与矩阵的对应，特征值与特征向量，对角矩阵，最小多项式，值域，核，不变子空间，根子空间分解，Jordan 标准形。要求学生掌握线性变换定义，线性变换的运算，线性变换与矩阵的对应。掌握特征值、特征向量、特征多项式、特征子空间的定义和性质，会计算特征值与特征向量。掌握可对角化的条件和最小多项式的性质。掌握线性变换的值域与核、不变子空间、根子空间的定义和性质。了解 Jordan 标准形。7.内积空间内积空间定义和基本性质，标准正交基，Schmidt 正交化方法，QR 分解，酉矩阵，正交矩阵，子空间的正交补，内积空间的同构，酉变换，正交变换，Hermite 矩阵，Hermite 变换，实对称矩阵的正交相似标准形，Schur 定理，正规矩阵。掌握内积空间的定义和性质。掌握 Schmidt 正交化方法，酉变换、正交变换、酉矩阵、正交矩阵定义及其性质，子空间的正交补的存在唯一性。掌握Hermite 矩阵，Hermite 变换性质。会求正交矩阵使实对称矩阵正交合同与对角阵。8.二次型二次型和二次型的矩阵，二次型的合同标准形，实、复二次型规范形的唯一性，正定二次型和半正定二次型。要求学生掌握二次型的矩阵表示和化二次型为标准形的方法。掌握实二次型的惯性定理。掌握正定二次型和半正定二次型的定义和性质。