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河 北 工 业 大 学 2019 年 硕 士 研 究 生 招 生 考 试自命题科目考试大纲科目代码：601科目名称：数学分析适用专业：数学、统计学一、考试要求数 学 分 析 适 用 于 河 北 工 业 大 学 理 学 院 数 学 专 业 和 统 计 学 专 业 研究 生 招 生 专 业 课 考 试 。 主 要 考 察 对 于 数 学 分 析 基 本 概 念 、 基 本 理 论 和基 本 方 法 以 及 运 用 所 学 知 识 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 。二、考试形式试卷采用客观题型和主观题型相结合的形式，主要包括计算题、证明题等。考试时间为 3 小时，总分为 150 分。三、考试内容（一）变量与函数函数的概念、复合函数和反函数、基本初等函数。（二）极限与连续1、数列极限和无穷大量：数列极限的定义、性质、运算，单调有界数列，无穷大量的定义、性质及运算。2、函数极限: 函数在一点的极限，函数极限的性质和运算，单侧 极 限 ， 函 数 在 无 穷 远 出 的 极 限 ， 函 数 值 趋 于 无 穷 大 的 情 形 ， 重 要 极限 。3、连续函数: 连续的定义、连续函数的性质和运算，不连续点的类型，闭区间上连续函数的性质。4、无穷大量和无穷小量的阶。（三） 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明1、关于实数基本定理：子列的概念，上（下）确界，区间套定理，致密性定理，Cauchy 收敛原理，有限覆盖定理。2、闭区间上连续函数性质的证明：有界性定理，最大和最小值定理，零点存在定理，反函数连续性定理，一致连续性定理。（四） 导数与微分1、导数的定义, 导数的几何意义和物理意义。2、简单函数的导数:常数函数的导数，三角函数的导数，对数函数的导数，幂函数的导数。3、求导法则：导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数。4、微分及其运算：微分的定义，微分的运算法则。5、隐函数及参数方程所表示函数的求导。6、高阶导数与高阶微分：高阶导数的运算法则，高阶微分。（五） 微分学的基本定理及其应用1、中值定理：Fermat 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理。2、Taylor 公式和近似计算Taylor 公式。3、函数的单调性、极值与凸性。4、平面曲线的曲率。5、 待定 型 -洛必 达法则 。6、方程的近似解。（六）不定积分1、不定积分的概念及其运算法则。2、不定积分的计算：换元积分法，分步积分法，有理函数积分法。（七）定积分1、定积分的概念。2、定积分存在的条件：定积分存在的充分必要条件，可积函数类。3、定积分的性质。4、定积分的计算：基本公式，换元积分法，分步积分公式。（八）定积分的应用和近似计算1、平面图形的面积。2、曲线的弧长。3、体积。4、旋转曲面的面积。5、质心。6、 平 均 值 、 功 的 计 算 。7、 定 积 分 的 近 似 计 算 。（九）数项级数1、数列的上、下极限。2、级数收敛性及其基本性质。3、正项级数及其收敛的判别法。4、任意项级数：绝对收敛级数，交错级数。条件收敛判别法。5、绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。6、无穷乘积。（十）反常（广义）积分1、无穷限反常积分：无穷限反常积分的概念，无穷限反常积分和数项级数的关系，无穷限反常积分收敛性判别法。2、无界函数的反常积分：无界函数的反常积分的概念和收敛判别法，反常积分的主值。（十一）函数项级数、幂级数1、 函 数 项 级 数 一 致 收 敛 ： 一 致 收 敛 的 定 义 ， 性 质 ， 判 别 法 。2、 幂 级 数 ： 收 敛 半 径 ， 幂 级 数 的 性 质 和 函 数 的 幂 级 数 展 开 。3、逼近定理。（十二）富里埃级数和富里埃变换1、函数的富里埃级数展开：三角函数系的正交性，富里埃级数的系数，富里埃级数的复数形式，富里埃级数的收敛性定理。2、富里埃变换：富里埃变换的概念和性质。（十三）多元函数的极限与连续1、 平 面 点 集 ： 邻 域 、 点 列 和 极 限 ， 开 集 、 闭 集 和 区 域 ， 平 面 点集 的 基 本 定 理 矩 形 套 定 理 、 致 密 性 定 理 、 有 限 覆 盖 定 理 、 Cauchu 收 敛 原 理 。2、 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续 ： 多 元 函 数 的 概 念 、 二 元 函 数 的 极 限 、连 续 性 ， 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质 ， 二 次 极 限 和 二 重 极 限 。（十四）偏导数与全微分1、偏导数与全微分的概念：偏导数的定义，全微分的定义，高阶偏导数和高阶全微分。2、求复合函数偏导数的链式法则。3、由方程（组）所确定的函数的求导法：一个方程的情形，方程组的情形。4、空间曲线的切线与法平面。5、曲面的切平面与法线。6、方向导数和梯度。7、多元函数的泰勒公式。（十五）极值和条件极值1、极值和最小二乘法。2、条件极值。（十六）隐函数存在定理、函数相关1、隐函数存在定理：一个方程的情形，方程组的情形。2、函数行列式的性质和函数相关。（十七）含参变量的积分含参变量积分的连续性、可微性及交换积分次序的定理。（十八）含参变量的广义积分1、一致收敛性的定义。2、一致收敛积分的判别法。3、一致收敛积分的性质。4、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法。5、欧拉积分。（十九）积分的定义和性质1、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、曲面积分的概念 。2、积分的性质。（二十）重积分的计算和应用1、二重积分的计算：化二重积分为二次积分，用极坐标计算二重积分，二重积分的一般变量替换。2、三重积分的计算: 化三重积分为三次积分, 三重积分的变量替换。3、 积分 在物理 上的应 用 -质心 、矩， 引力。4、广义重积分。（二十一）曲线积分和曲面积分的计算1、第一类曲线积分的计算。2、第一类曲面积分的计算：曲面积分，曲面积分的计算。3、第二类曲线积分：物理意义，第二类曲线积分的计算，两类曲线积分的联系。4、第二类曲面：曲面的侧，第二类曲面积分的定义，两类曲面积分的联系，第二类曲面积分的计算。（二十二）各种积分间的联系和场论初步1、各种积分间的联系：格林（Green）公式，高斯（Gauss ）公式，斯托克斯（Stokes）公式。
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