2019大连交通大学814数学分析考研考试大纲.pdf

2019 年硕士研究生招生考试初试考试大纲 科目代码 ： 814 科目名称：数学分析 适用专业：数学类各专业 考试时间： 3 小时 考试方式：笔试 总 分： 150 分 考试范围： 一、函数、极限与连续 1 深入理解函数的概念 ， 理解基本初等函数的图像 ， 理解几个特殊的函数性质 ，如有界、单调、奇偶与周期，熟练掌握复合函数、反函数与初等函数的运算。 2深入理解数列极限的概念；熟练掌握收敛数列的性质，如唯一性、有界性、保号性、保不等式性及数列极限的存在条件（单调有界数列必有极限与夹逼定理）。 3深入理解函数极限的概念，包括函数极限的若干种情形；熟练掌握函数极限的性质 ， 包括唯一性 、 局部有界性 、 局部保号性 、 保不等式性 、 迫敛性 、 四则运算法则 ； 掌握函数极限的存在条件 ； 熟练掌握两个重要极限，会用无穷大与无穷小处理极限问题。 4深入理解无穷小与无穷大的概念，熟练掌握无穷小比较的定义与求解。 5深入理解连续函数的概念，掌握闭区间上连续函数的性质；理解一致连续的概念；了解复合函数与反函数连续的充分条件，以及初等函数的连续性。 二、一元函数微分学 1深入理解导数的概念， 了解物理和几何背景 ； 熟练掌握各种求导的运算 ； 理解微分的概念，会进行近似计算。理解高阶导数的概念，了解莱布尼兹公式。 2掌握三个微分中值定理；熟练掌握罗必达法则；掌握带有两种余项的泰勒公式， 熟练掌握常用的几个函数的展开式 ； 掌握运用导数来判断函数的单调、凹凸等性质；掌握函数极值的判别和函数最大（小）值的求法。 三、一元函数积分学 1理解不定积分的概念，熟练掌握基本初等函数的不定积分；掌握常用的换元积分法与分部积分法 ； 掌握有理函数、简单的无理函数与三角有理函数的不定积分。 2深入理解定积分的概念；理解可积准则；了解常用的可积函数类；了解定积分的性质 ； 理解变限定积分的概念与原函数存在定理。熟练掌握计算定积分的牛顿 莱布尼兹公式、换元公式和分部公式。 3掌握用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积已知的立体体积和平面曲线的弧长。 四、多元函数微分学 1理解多元函数的概念；掌握几种极限之间的关系，连续函数的性质。 2理解偏导数与全微分的概念。 3了解方向导数和梯度的概念。 4熟练掌握复合函数的微分计算。 5了解隐含数的存在性条件与结论；熟练掌握隐函数的微分法。 6.掌握偏导数的几何应用与条件极值的求法。 五、多元函数积分学 1理解重积分的概念，掌握其性质及计算方法 (重点为二重与三重积分 )。 2了解曲线、曲面积分的定义与计算，掌握格林公式、高斯公式、奥高公式。 六、无穷级数 1掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质；掌握判别正项级数敛散性的各种方法 比较判别法 ， 比式判别法 ， 根式判别法和积分判别法 ； 理解收敛级数 、绝对收敛级数与条件收敛级数的关系、 性质及证明方法 ； 掌握交错级数的莱布尼茨判别法；掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法。 2理解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性，掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义 、 函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法。 3理解幂级数作为特殊的函数项级数和一般函数项级数相同的性质，会求幂级数的收敛半径和收敛范围 ； 掌握泰勒级数和麦克劳林展开公式，五种基本初等函数的幂级数展开。 4了解傅里叶级数的收敛定理， 掌握三角级数和傅里叶级数定义 ； 掌握以 与为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，2余弦级数。 七、反常积分与参变量积分 1深入理解反常积分，无穷积分，瑕积分的概念、性质及判别法。 2深入理解含参变量积分的概念、性质及判别法； 了解 函 数与 B 函数。 3掌握反常积分与含参变量积分的计算。 样 题： 一、试解下列各题 （ 本大题共 4 小题， 每小题 6 分， 总计 24 分） 1已知 在 处连续，求常数 。 0,)(cos)21xaxf a2设 在 处的邻域内连续， ，讨论函数 在 处的可导()f ()()gxfx()gxa性。 3设函数 由方程 所确定，求 。 )(xyyxy20xdy4求函数 的极值。 10f二、试解下列各题 （ 本大题共 4 小题， 每小题 8 分， 总计 32 分） 1已知表达式 为某二元函数 的全微dyxbydxyax )3sin1()cos( 223 ),(yxf分，求 。 b,2求曲线 在点 处的切线与法平面方程。 226yxz)2,1(0M3计算 ，其中 是圆周 正向。 Ldy22L2yx4求幂级数 的和函数。 01nx)1,(三、试解下列各题 （ 本大题共 6 小题， 每小题 12 分， 总计 72 分） 1 设直线 与抛物线 所围成的面积为 ， 它们与直线 所围成的图形面积为 ，axy2xy1S1x2S且 。 （ i）试确定 的值，使 达到最小，并求最小值； 21S（ ii）求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积。 x2 设 在闭区间 上连续 ， 其导数 在开区间 内存在且单调减少， ，)(xf,0c)(f),0(c0)(f试应用拉格朗日中值定理证明不等式： ，其中常数 满足条件bfabba,。 ba03计算 。 12214yxyxdede4计算 ， 。 0sinidxabeIpx abp,05判断函数项级数 在区间 上的一致收敛性。11)(nn1,6讨论 （ ）的收敛性，并指明是绝对收敛还是条件收敛？ 1sidxp0四、证明题 （ 本大题共 2 小题， 每小题 11 分， 总计 22 分） 1证明：对任意自然数 ，方程 在 内有唯一实根，并证明级数n1xn),0( 1nx（ ）收敛。 2设函数 在区间 上连续，且 存在，则 在区间 上 )(xf),a)(limxfx)(xf),a一致连续。