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科目代码: 847 请在答题纸（本）上做题, 在此试卷或草稿纸上做题无效！ 山东科技大学 2017 年全国硕士学位研究生招生考试 高等代数试卷 一、填空题（每小题 2分, 10分, 将答案写在答题纸上, 不填解题过程） 1、如果 , 则 , 1 | ) 1 ( 2 4 2 Bx Ax x A B 的值各为 . 2、设 4 阶方阵 , 则 的逆阵 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 5 A A . 3 、设 阶矩阵 的各行元素之和均为零, 且 的秩为 n A A 1 n , 则线性方程组 的通解为 0 AX . 4、设 阶矩阵 的元素全为 1, 则 的 个特征值是 n A A n . 5、 已知向量组 ) 4 , 3 , 2 , 1 ( 1 , , ) 5 , 4 , 3 , 2 ( 2 ) 6 , 5 , 4 , 3 ( 3 , , 则该 向量组的秩是 ) 7 , 6 , 5 , 4 ( 4 . 二、计算题(每小题 5分, 共 15分). 1、已 知 4 阶行列式 的第 行元素分别为 D 3 1, 0, 2, 4 , 第 行元素对应的余子式 依次是 , 求 的值. 4 5, 10, , a 4 a 2 、已知矩阵 满足关系 B A, A 第 1页 共2页 B AB , 其中 , 求矩阵 . 2 0 0 0 1 2 0 2 1 B A * 3 、设 为3 阶方阵 的伴随矩阵, A A A = , 计算行列式 2 | 2 1 ) 3 ( | * 1 A A . 三、(15 分) 计算n 阶行列式: ) 3 ( n 011 1 10 10 10 n x x D x x xx . （注释: 该行列式主 对角线上元素都是 , 第一行和第一列除去第一个位置的元素是 0 外, 其余的 都是1, 行列式中其余的元素都是 0 x . 要求写出解题步骤, 也可以用语言叙述）. 科目代码: 847 请在答题纸（本）上做题, 在此试卷或草稿纸上做题无效！ 四、证明题(每小题 10 分, 共 30 分). 1 、如果 , 那么 () ,() )1 fxgx ()() ,() () )1 fxgxfx gx . 2 、A 为n 阶方阵, 如果 , 则: 秩 A A 2 () AE 秩 =n , 其中 是n 阶单 位矩阵. () A E 3 、 是线性空间V 上的可逆线性变换, 则 的特征值一定不为 . 0五、 (15分) 设实二次型 通过正交 线性变换 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 2 2 ) , , ( x x x x x x x x x x x x f X PY 化成标准形 , 求常数 2 3 2 2 2 1 2 2 y y y f , P 的值及所用 的正交线性变换矩阵 . 六、 （15 分）列向量 12 , n 和 12 , n 是 n R 空间的两组基, 线性变换 在 12 , n 和 12 , n 下的矩阵分别为A 和B , 证明: A 和B 是相似的. 七、 （15 分） 如果向量 可以由向量组 12 , m 12 , m 线性表出, 证明: 表示方法是 惟一的充分必要条件是向量组 线性无关的. 八、 （15 分）设向量组 1 , 2 , 3 是 3 R 的一组基, 3 1 1 2 2 k , 2 2 2 , 3 1 3 ) 1 ( k , 证明 1 , 2 , 3 也是 3 R 的一组基. 九、 （20 分）设集合V = ) , , , , 0 ( | 3 2 n x x x x x . 1 、证明: 对于向量的加法和数乘运算构成实数域 V R 上的线性空间; 2 、求V 的一组基及维数; 3 、求 23 (0, , , , ) n aa a 在(2) 中所求出的基下的坐标. 第 2页 共2页
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