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1青 岛 大 学 2017年 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 试 题 (A)科 目 代 码 ： 880 科 目 名 称 ： 数 学 基 础 综 合 （ 共 2页 ）请 考 生 写 明 题 号 ， 将 答 案 全 部 答 在 答 题 纸 上 ， 答 在 试 卷 上 无 效1 （ 10 分 ） 求 极 限 2 23 5 17 2 1lim 2 4 16 2n nn .2 （ 10 分 ） 证 明 ： 22 1lim 11x xx 3 （ 10 分 ） 设 ( )f x 对 ( , ) 内 一 切 x有 2( ) ( )f x f x ( )且 ( )f x 在 0x ， 1x 处 连 续 证 明 ： ( )f x 在 ( , ) 上 为 常 数 4 （ 10 分 ） 设 函 数 ( )f x 在 , a b 上 连 续 ， 在 ( , )a b 内 可 微 若 ( ) ( ) 0f a f b ， 且 02a bf 证 明 ： 必 ( , )a b ， 使 得( ) 0f 5 （ 10 分 ） 设 ( )f x 在 ( , ) 上 有 三 阶 导 数 ， 并 且 ( )f x ， ( )f x 在( , ) 上 有 界 证 明 ： ( )f x ， ( )f x 也 在 ( , ) 上 有 界 6 （ 10 分 ） 设 , 0,a b 函 数 ( ) 0f x ， 且 ( )f x 在 , a b 上 可 积 ， ( ) 0.ba xf x dx 试 证 明 ： 2 ( ) ( ) .b ba ax f x dx ab f x dx 7 （ 10 分 ） 设 ( )f x 是 , a b 上 连 续 的 凸 函 数 试 证 ：1 2 1 2, , , x x a b x x ， 有21 1 2 1 2 2 1 ( ) ( )1 ( ) .2 2xxx x f x f xf f t dtx x 28 （ 10 分 ） 计 算 ： 2 0 (1 )(1 )dxx x 9 （ 10 分 ） 计 算 n阶 行 列 式 n a a a xa a x aD a x a ax a a a 10 （ 10 分 ） 设 1, , s 线 性 无 关 ， 而 1, , , ,s 线 性 相 关 证 明 ： 若 1, , ,s 与 1, , ,s 不 等 价 ， 则 与 中 有 且 仅 有 一 个 可 由1, , s 线 性 表 示 11（ 10 分 ） nnFBA , ， 若 2 ,A A 且 E A B 是 可 逆 阵 ， 证 明 ： 秩 ( )AB 秩 ( )BA 12 （ 10 分 ） 设 ( ), ( ) f x g x F x ， 且 ( ), ( ) 1f x g x ， 则 ,a b F ， 且 均不 为 0， ( ( ) ( ), ( ) ( ) 1f x g x af x bg x 13 （ 10 分 ） 设 F 是 数 域 , , , n nA B E F ,且 AB A B ，证 明 : 1( )A E E B 14 （ 10 分 ） 设 是 数 域 F 上 的 线 性 空 间 V的 线 性 变 换 ， 且 2 ， 证明 ： （ 1） 的 特 征 值 只 能 是 0,1（ 2） ( ) Ker V 15 （ 每 小 题 5分 ， 共 10分 ） 对 于 nR 的 线 性 变 换 ，),()( nnn RARXAXX 证 明 ： 1） 若 A是 正 交 矩 阵 ， 则 是 正 交 变 换 ；2） 若 A是 对 称 矩 阵 ， 则 是 对 称 变 换
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