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历年考研数学一真题 1987-2014（经典珍藏版）1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)当 x=_时,函数 2xy取得极小值.(2)由曲线 lnyx与两直线 e1及 0所围成的平面图形的面积是_. 1x(3)与两直线 yt2z及 11x都平行且过原点的平面方程为_.(4)设 L为取正向的圆周 29,xy则曲线积分2(2)(4)Lxydxy:= _.(5)已知三维向量空间的基底为123(,0)(1,)(0,1)则向量 (2,0)在此基底下的坐标是_.二、(本题满分 8 分)求正的常数 a与 ,b使等式 2001lim1sinxxtdba成立.三、(本题满分 7 分)(1)设 f、 g为连续可微函数 ,(,)(),ufxyvgxy求,.uvx(2)设矩阵 A和 B满足关系式 2,AB=其中301,4求矩阵 .四、(本题满分 8 分)求微分方程 26(9)1yay的通解,其中常数 0.a五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 2()lim1,xaf则在 xa处(A) f的导数存在 ,且 ()0f(B) ()fx取得极大值(C) ()fx取得极小值 (D) ()fx的导数不存在(2)设 ()fx为已知连续函数 0,(),stIfxd其中 0,ts则I的值(A)依赖于 s和 t (B)依赖于 s、t和 x(C)依赖于 t、 x,不依赖于 s(D)依赖于s,不依赖于(3)设常数 0,k则级数 21()nk(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与 k的取值有关 (4)设 A为 n阶方阵，且 A的行列式 |0,a而 *A是 的伴随矩阵，则 *|等于(A)a (B)1a(C) 1n (D) n 六、 （本题满分 10 分）求幂级数 112nnx:的收敛域，并求其和函数. 七、 （本题满分 10 分）求曲面积分 2(81)()4,Ixydzydzxy其中 是由曲线 13()0 zyfxx绕 y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 y轴正向的夹角恒大于 .2 八、 （本题满分 10 分）设函数 ()fx在闭区间 0,1上可微,对于 0,1上的每一个 ,x函数 ()f的值都在开区间 (0,1)内,且 ()fx1,证明在 (0,1)内有且仅有一个,x使得 .九、 （本题满分 8 分）问 ,ab为何值时 ,现线性方程组 1234123401()xxab有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件 A发生的概率为 ,p现进行 n次独立试验,则 A至少发生一次的概率为_;而事件 A至多发生一次的概率为_.(2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量 X的概率密度函数为 21()e,xf则 X的数学期望为_, X的方差为_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 ,XY相互独立,其概率密度函数分别为()Xfx10 x为, ()Yfy e0y , 求 2ZXY的概率密度函数.1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求幂级数 1()nnx的收敛域.(2)设 2()e,()xff且 ()0x,求 ()x及其定义域.(3)设 为曲面 221xyz的外侧,计算曲面积分333.Ixdyzd:二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上)(1)若 21()lim(),txxftt则 ()ft= _.(2)设 连续且 30,d则 7)f=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 (1,上定义为()fx2 1x,则的傅里叶 ()Fourie级数在 x处收敛于_.(4)设 4 阶矩阵 234234,AB其中23,均为 4 维列向量,且已知行列式 1,AB则行列式 B= _.三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 ()fx可导且 01(),2fx则 0x时 ,()fx在 0处的微分 dy是(A)与 x等价的无穷小 (B)与 x同阶的无穷小(C)比 x低阶的无穷小 (D)比 x高阶的无穷小(2)设 ()yfx是方程 240y的一个解且00(),fx则函数 ()fx在点 处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少(3)设空间区域22221:,0:,0,xyzRxyzRxyz则(A) 124dv (B)12y(C) 124zdv (D)12xyxy(4)设幂级数 1()nna在 1x处收敛,则此级数在x处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定 (5)n维向量组 12,(3)sn 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数 12,sk 使120skk(B) 1,s 中任意两个向量均线性无关(C) 12,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) 12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分 6 分)设 (),xyuyfg其中函数 f、 g具有二阶连续导数,求 22.x五、(本题满分 8 分)设函数 (yx满足微分方程 32e,xy其图形在点 (0,1)处的切线与曲线 21x在该点处的切线重合,求函数 ().yx六、 （本题满分 9 分）设位于点 (0,1)的质点 A对质点 M的引力大小为2(kr为常数 r为 质点与 之间的距离), 质点 沿直线2yx自 (,)B运动到 (0,)O求在此运动过程中质点A对质点 M的引力所作的功.七、 （本题满分 6 分）已知 ,APB其中1010,2,P求 5.A八、 （本题满分 8 分）已知矩阵201xA与201yB相似.(1)求 x与 .y(2)求一个满足 1P的可逆阵 .P九、 （本题满分 9 分）设函数 ()fx在区间 ,ab上连续,且在 (,)ab内有()0,fx证明:在 ,内存在唯一的 ,使曲线 (yfx与两直线 ()yfx所围平面图形面积 1S是曲线 )与两直线 ,b所围平面图形面积 2的 3 倍.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 1927则事件 在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间 (0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于 65”的概率为 _.(3)设随机变量 X服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知21()e,(.5)0938,uxd则 X落在区间 9.5,0内的概率为_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 X的概率密度函数为 21(),)Xfx求随机变量 31Y的概率密度函数 .Yy1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)已知 (3)2,f则 0(3)(lim2hff= _.(2)设 x是连续函数,且 10(),fxftd则()f=_.(3)设平面曲线 L为下半圆周 21,yx则曲线积分2()Lxyds=_.(4)向量场 ivu在点 (1,0)P处的散度divu=_.(5)设矩阵3140,10,AI则矩阵1(2)I=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当 0x时 ,曲线 1sinyx(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面 24zxy上点 P处的切平面平行于平面 210,xy则点的坐标是(A)(,) (B)(1,2) (C) (D) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A) 123cy(B)12()(C) 12123()cycy(D)123()
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