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2013 硕士研究生入学考试数学三真题及答案解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当 时，用 表示比 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）0x()ox（A） 23()（B） ()oxx（C） 22()o（D） ()xx答案：（D）解析：（A） 0)(232xo（B）232()()ox（C）222()()0oxx（D） 如：)()(22推 不 出xo 22()1oxx则（2）函数 的可去间断点的个数为（ ）|1()ln|xf（A）0（B）1（C）2（D）3答案：（B）解析： ln|100| ln|limlilim1.()ln|(1)|()|xxxxxexf(x)= 1lix1lix2|l)(|f(x)= 1limx1lix|ln)(|x而 f(0),f(1)无定义，故 x=0,x=1 为可去间断点.（3）设 是圆域 位于第 象限的部分，记kD2,|1yk()kDIyxd，则（ ）1,24（A） 0I（B） 2（C） 3I（D） 40答案：（B）解析： /21 /2(1)0 (1)/2/2 1234(1) (1)/)(sincos)sinco)32sincoi 0,033k k kD kIyxddrrddII （ ， 带 入 得故应选 B。（4）设 为正项数列，下列选项正确的是（ ）na（A）若 收敛11,()nna则（B） 收敛，则1()n若 1n（C） 收敛，则存在常数 ,使 存在1na若 PlimPna（D）若存在常数 ，使 存在，则 收敛lina1n答案：（D）解析：因为 收敛， 存在，则 收敛。故应选 D。1pnlimn1na（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 ,BAC则 可 逆 ， 则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价答案：（B）解析：B 可逆.A(b 1bn)=C=(c1cn)Ab i=Ci.即 C 的列向量组可由 A 的列向量组表示.AB=C A=CB -1=CP.同理：A 的列向量组可由 C 的列向量组表示.（6）矩阵 与 相似的充分必要条件为1ab20b（A） a0,2（B） 为 任 意 常 数b（C） ,（D） 为 任 意 常 数a2答案：（B）解析：A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征值相同.A 和 B 的特征值为 1=0. 2=b. 3=2.|A-2E|= a=024ab且 )(BRA012bA02B当 a=0 时， ).(Rb时 ， 有反之对于 .0相 似和有时、 BAaR（7）设 是随机变量，且 ,123X， ， 22123N(0,)(5)XN， ,） ， X则（ ）(,)j jP（A） 123（B） 213P（C） 32（D） 1答案：（A）解析： 1122 1233 3123()(2)(01577()3PXPP （8）设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为，则 ( )2PXY（A） 1（B） 8（C） 6（D） 12答案：（C）解析： 1203111 4836PXYYPXYPXY， ， ，二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设曲线 和 在点 处有公共的切线，则)(xfyx2)1,0(_。2limnf答案：-2解析：22111limli lim22lili 21nn nnnf ffnffff （10）设函数 由方程 确定，则 _。),(yxzxyz)( )2,1(xz答案：2-2ln2解析： 1,2,120ln,1,2,0=2-lnxxxzyzy zxyz x 把 点 代 入 得在 两 边 同 时 对 求 偏 导 数 ， 有 将 z代 入 得（11）求 _。dx12)(l答案：ln2解析: 211lnl()()xxdxd0+ =0-ln1lxl.（12）微分方程 通解为 _。04yy答案：122()xyec解析： 212120,4xyec二 阶 齐 次 微 分 方 程 的 特 征 方 程 为 解 得所 以 齐 次 方 程 的 通 解 为（13）设 是三阶非零矩阵， 为 A 的行列式， 为 的代数余子式，若ijA(a)| ijija。ijija0,12,3_则答案： 1解析： 0ijijaA*|ijijTTAE取行列式得： 1|0|32 或若 (矛盾),00|AT，1|（14）设随机变量 X 服从标准正态分布 ,则 = _。N(01)X2()XEe答案：2e 2解析： 22 2 21 122 2 21xxx xXx eEeeddeede 标 准 正 态 分 布 的 概 率 密 度 f三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）当 时， 与 为等价无穷小，求 与 的值。0x1cos2cos3xxnana解析： 0 0 01 206s4co1ss3 3cos64cos2limlimlim6in4i2n34li()236+742n nx x xn nx xxaxaaaan 所 以当 时 ， 由 题 意所 以 7，（16）（本题满分 10 分）设 是由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形， 分别是 绕D13yx(0)ax,xyVD轴， 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 ，求 的值。x 1yVa解析：由题意可得： 152330()axVdxa173306ay因为： 所以yxV7533107aa（17）（本题满分 10 分）设平面内区域 由直线 及 围成 .计算 。D,yx8y2Dxdy解析： 与 的交点为 ， 与 的交点为 。3yx8y(2,6)13yx8y(6,2)238222 22110 03 146()()3xxDddddxxd（18） （本题满分 10 分）设生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元/件，价格函数为 ，601QP（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件） ，已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。（2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价 P。解析：（1）总收入 ()10(6)010RQPP总成本 ()6022CP总利润 ()1080160LRPP边际利润 ()2（2）当 P=50 时的边际利润为 ，其经济意义为在 P=50(50)250820L时，价格每提高 1 元，总利润减少 2000 元。（3）由于 ， 在 递增，在 递减，当,4()20800PLP()L0,4)(40,)P=40 时，总利润最大。（19） （本题满分 10 分）设函数 在 上可导， ，证明()fx0,(0)lim()2xff且（1）存在 ，使得a()1fa（2）对（1）中的 ，存在 使得0,1().fa证明：（1）因为 ，对于 ，存在 ,使得当 时，lim()2xf20AxA，因此 ，由连续函数的介值性，存在 ，使得 。1|()2|fx3()fA (,)a()1fa（2）由拉格朗日中值定理，存在 使得(0,)a0().ff（20） （本题满分 11 分）设 ，当 为何值时，存在矩阵 使得 ，并求所101,aABb,aCAB有矩阵 。C解析：令 ，则1234x121324340xaxaAC1212134343xxa，21241343axACx则由 得B，此为 4 元非齐次线性方程组，欲使 存在，此线性方程组必须2314230xab C有解，于是010101010aaaAbbb1010ab所以，当 时，线性方程组有解，即存在 ，使 。1,CAB又 ,01A所以 121220cXc所以 （其中 为任意常数） 。1212,ccC123,c（21） （本题满分 11 分）设二次型 ，记 22123123123,fxaxxbx。12233,ab（I）证明二次型 对应的矩阵为 ；f2T（II）若 正交且均为单位向量，证明二次型 在正交变化下的标准形为二次型,f。21y证明：1111123232232321,2()=2TTTTTTTaxbxfx xXXXfA故 的 矩 阵为 的 对 应 于 的 特 征 向 量又 22321=3=0.TrArrf y为 的 对 应 于 的 特 征 向 量故 在 正 交 变 换 下 的 标 准 型 为（22） （本题满分 11 分）设 是二维随机变量， 的边缘概率密度为 ，在给定,XYX23,01,.Xxf其 他的条件下， 的条件概率密度01xY23,0.YXyxfx其 他（1） 求 的概率密度 ；,X,fxy（2） 的边缘概率密度 ；YY（3） 求 。2P解析：(I) 。2301, 0XYyxxyxfxyfy其 他（II） ,Yffdx
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