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宁波大学 2018 年硕士研究生招生考试初试试题(A 卷)(答案必须写在考点提供的答题纸上)第 1 页 共 2 页科目代码：871总分值：150科目名称： 高等代数一、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1. 设有多项式 与 .若 整除 , 求baxxf243)( 2)(2axg)(g)(xf与 的值.ab2. 设 ，计算 阶行列式3n. baan3. 设 ，利用正交相似变换求 .32A9105A4. 设 是 阶正定矩阵 , ，且 是非零列向量. 令 , 求n）（ 1nnRTB的最大特征值以及 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基.BB5 用非退化线性替换将二次型 4321,xf 432124321 xxx化为标准形，再进一步化为规范形（分实系数、复系数两种情形），并写出所作的非退化线性替换.6. 设三阶方阵 ，求 的初等因子及若当标准形.310AA二、证明题（每小题 15 分, 共 90 分）1. 证明： , 当且仅当 .ndx| n|d宁波大学 2018 年硕士研究生招生考试初试试题(A 卷)(答案必须写在考点提供的答题纸上)第 2 页 共 2 页科目代码：871总分值：150科目名称： 高等代数2. 设 为三次原根，证明： . )()( 22cbacbacacb 3. 设向量 , ，4321243214， 12343=+.证明：向量组 线性无关的充要条件是向量组3214 43,线性无关. 4,4. 设 阶实对称矩阵 的秩为 , 是 中元素 的代数余子式nAnijnijaAija. 二次型 . 设 证明：),21,(ji jiijxxf121),( ，T21),(nx（1）二次型 的矩阵为 .(xf（2） 二次型 与 的规范形相同.T)g)(f5. 设 为任意两个 阶方阵.证明： 和 有相同的特征多项式.BA， nAB6. 设 是复数域上的 维空间 的一个线性变换,而 在基 下的矩阵是TVTn， 21一个若当块. 证明：（1）包含 的不变子空间就是 自身.1（2）任一非零不变空间都包含 .n（3） 不能分解成两个非平凡的不变子空间的直和.V
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